Laboratorio - Misura di g

ESPERIENZA DI LABORATORIO:

DETERMINAZIONE DELLA COSTANTE DI ACCELERAZIONE

GRAVITAZIONALE LOCALE MEDIANTE IL PENDOLO

REVERSIBILE.

OBBIETTIVO

Determinazione della costante di accelerazione gravitazionale locale

mediante pendolo reversibile.

SCOPO DELL’ESPERIMENTO

Il fine dell’esperimento è determinare l’accelerazione gravitazionale locale

effettuando degli spostamenti della massa mobile del pendolo, fino al

raggiungimento della condizione di eguaglianza dei due periodi ottenuti

sospendendo il pendolo prima per un coltello e poi per l’altro.

Gravitazione: Interazione fondamen

tale della natura responsabile

dell’attrazione reciproca che si

manifesta fra tutti i corpi dotati di

massa. La gravitazione, insieme alla

forza nucleare forte, alla forza

subnucleare debole e alla forza

elettromagnetica, costituisce una

delle quattro forze fondamentali

esistenti in natura. Il termine

gravità, spesso usato come sinonimo, si riferisce propriamente solo alla

forza, comunemente detta forza peso, sperimentata da un corpo posto sulla

superficie della Terra (o di qualunque altro

pianeta) o nelle sue vicinanze.

MATERIALE OCCORRENTE

• Pendolo di Kater;

• Cronometro digitale;

• Foto cellule;

• Asta graduata. Skuola.net

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RICHIAMI TEORICI

Il pendolo reversibile (o pendolo di Kater) è un pendolo composto. Il suo

periodo di oscillazione dipende dalla sua forma fisica. Esso è costituito da

un'asta dotata di due punti di oscillazione simmetrici, a cui sono fissate due

masse uguali, una mobile ed una fissa. Appeso per uno o per l'altro punto

di oscillazione, il periodo risulta diverso. Spostando la posizione della

massa mobile, entrambi i periodi di oscillazione variano. E' possibile

trovare una posizione della massa mobile per la quale i due periodi di

oscillazione risultano uguali: in questo caso il periodo comune è pari a

quello di un pendolo semplice di lunghezza pari alla distanza fra i punti di

oscillazione.

L'esperienza consiste nel misurare il periodo di alcune oscillazioni

appendendo il pendolo ad entrambi i punti di oscillazione, e spostando la

massa mobile fino a trovare una posizione in cui i periodi sono uguali

all'interno degli errori. A questo punto dal valore del periodo comune e

dalla misura della distanza fra i punti di oscillazione si risale

all'accelerazione di gravità. Kater dimostrò che trovando la posizione della

massa libera per la quale il periodo di oscillazione attorno ad un asse fosse

stato uguale a quello ottenuto girando il pendolo e facendolo oscillare

attorno all'altro asse, si riesce ad ottenere una stima della pulsazione ω

indipendente da I. Infatti ottenuta la condizione di uguaglianza tra i periodi

si può dedurre che la pulsazione del moto del pendolo sia uguale e

indipendentemente da quale asse costituisca il punto di oscillazione.

PREMESSA ALL’ ESPERIMENTO

Dalla formula che esprime il periodo del pendolo in funzione

dell’accelerazione di gravità e della distanza tra i punti di sospensione, è

possibile ricavare la seguente relazione:

π 2

 

2

=  

g L

 

T

Per poter analizzare i risultati ottenuti mediante l’esperienza sperimentale,

è necessario valutare gli errori.

Innanzitutto si osserva che il metro a disposizione ha una precisione

dell’ordine di 10-3 m. Skuola.net

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FORMULE UTILIZZATE

π 2

 

2

=  

g L

 

T

PROCEDIMENTO

Si fa oscillare il pendolo attorno allo spigolo del coltello A, e si misura il

periodo T , del sistema in tale configurazione, in base alla durata di un

1

certo numero n di oscillazioni complete. ; questo

Al crescere di n, diminuisce l’errore d’apprezzamento di T

1

ragionamento deriva dal fatto che in statistica lo scarto quadratico medio

σ

σ =

della media aritmetica è minore di quello della variabile: . Se t è

x 1

x n

t

* oscillazioni, T = .

il tempo impiegato per le n 1

1 *

n

In un secondo momento si fa oscillare il pendolo attorno allo spigolo

dell’altro coltello B, ed analogamente si misura T .

2

In generale si troverà T ≠ T . Allora, procedendo per tentativi, si sposta la

1 2

massa C’, collegata all’asta, che può scorrere lungo la feritoia, finchè la

sua posizione determina l’uguaglianza dei due periodi.

Trovato il periodo comune T, la distanza nota L fra gli spigoli è la

lunghezza ridotta del pendolo semplice corrispondente.

l

π

Dalla relazione: T = , si ricava :

2 g π 2

4

g = l

2

T

Questa relazione fornisce il valore sperimentale dell’accelerazione di

gravità, noto la misura di T, e il valore di L (dato di solito dalla casa

costruttrice del pendolo).

Nota: Si dovrebbe ripetere l’intera esperienza molte volte, per poi prendere

la media aritmetica dei valori di ottenuti. Se, viceversa, viene svolta solo

g

una prova, assumiamo come errore la sensibilità delle misurazioni.

DESCRIZIONE DELL’ESPERIMENTO

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Inizia ora la vera “esperienza” di laboratorio: procediamo quindi con la

prima misurazione, ponendo la massa C’ a 10 centimetri dal coltello

inferiore (B), e il periodo che ne risulta dopo 10 oscillazioni è pari a 2.028

secondi. Invertendo l’asta, poniamo l’asse di rotazione nel coltello B, e alle

stesse condizioni otteniamo 2.026 secondi.

La seconda misurazione viene fatta ponendo la massa a 20 centimetri da B:

i valori ottenuti sono di 1.969 secondi per l’asse in A, e di 1.981 secondi

nell’altra situazione. Se ne deduce, senza ulteriori misurazioni, che la

posizione cercata varia tra i 10 e i 20 cm dal punto B, e la motivazione è

abbastanza semplice: i valori del periodo, in funzione della posizione,

descrivono un andamento parabolico, e più precisamente la funzione nel

primo caso è decrescente, mentre nel secondo è crescente; la loro

intersezione si troverà nella zona 10-20 cm

Distanza dal coltello B (in cm) Periodo relativo all'asse A (in sec.) Periodo relativo all'asse B (in sec.)

10,000 2.028 2.026

11,000 2.122 2.020

12,000 2.163 2.015

13,000 2.010 2.009

14,000 2.004 2.005

2.200

2.150

2.100

Tempo 2.050

2.000

1.950

1.900

Distanza dal 10,000 11,000 12,000 13,000 14,000 15,000

coltello B (in

cm) Periodo relativo all'asse A (in sec.) Periodo relativo all'asse B (in sec.)

Distanza

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Ci accorgiamo che il grafico non rispecchia fedelmente la nostra

previsione: non si evidenziano perfettamente due andamenti “parabolici”;

le cause dell’imperfezione, come già rilevato (*), sono molteplici, e quindi

possono essere rilevate solo nel loro insieme.

Operiamo quindi un ingrandimento del grafico in prossimità del punto

d’intersezione, in modo da visualizzare in maniera più esplicita il periodo

cercato. Un procedimento di questo tipo, solo un po’ di tempo fa, andava

fatto riportando il grafico sulla carta millimetrata, ed estrapolando da

quest’ultima, in modo molto approssimativo, il valore cercato.

Oggi è possibile ricavarlo con un’elevatissima precisione attraverso il

computer e i relativi programmi.

Periodo relativo all'asse A

Periodo relativo all'asse B

Ingrandim ento dell'intersezione

2 .0 25

2.02

2 .0 15

2.01

Tempo 2 .0 05

2

1 .9 95

1.99

1 .9 85 4 4 4 4 4 4 4 4 4

1.28 10 1.3 10 1.32 10 1 .3 4 10 1.36 10 1 .3 8 10 1.4 10 1 .4 2 10 1.44 10

D istan za x (in mm)

Dall’estrapolazione del periodo, attraverso l’uso del computer, perveniamo

al valore di: T = 2.007 secondi, e il punto in cui vi è l’intersezione è

“esattamente” alla distanza di 13.4 centimetri dal punto B.

Possiamo ora calcolare g Skuola.net

by π 2

 

2

=  

g L

 

T

Di conseguenza, il valore “approssimativo” di g:

π π

⋅ 2

2

4 4 2

⋅ =

g = = 9.799 m/sec

l 1

2

T 4 . 028

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