Concetti Chiave
- Gli errori casuali sono fluttuazioni statistiche che possono influenzare una misurazione in modo positivo o negativo.
- La ripetizione delle misure riduce gli errori casuali, poiché le deviazioni tendono ad annullarsi.
- La teoria di Gauss descrive la distribuzione degli errori casuali attraverso la legge normale di Gauss.
- La media aritmetica e la deviazione standard sono parametri chiave per descrivere i dati osservati.
- La probabilità che una misura cada entro intervalli specificati segue la distribuzione gaussiana.
una serie ripetuta di misurazioni comporta la progressiva riduzione dell'errore casuale, poiché i singoli scostamenti si annullano reciprocamente.
Questo genere di errore è prodotto da fenomeni aleatori derivati da errori di lettura degli strumenti o fluttuazioni indotte da fenomeni esterni, come disturbi, variazioni di temperatura ecc.
Più uno strumento è preciso e meno questi fenomeni aleatori influenzano la misurazione (e dunque più relativamente piccoli sono mediamente gli errori casuali associati).
Gauss ha elaborato una teoria sugli errori casuali, ed è riuscito ad esprimere la distribuzione della probabilità di un errore casuale.
La legge che ne deriva prende il nome di legge normale di Gauss.
Va detto che non è affatto certo che qualsiasi evento aleatorio di tipo probabilistico segua la legge di Gauss, ma se il numero di misure è molto alto, è molto probabile che accada, a causa del Teorema del Limite Centrale.
I risultati che stanno per essere dati sono conseguenza di questa ipotesi.
Data una serie di osservazioni sperimentali, se queste sono abbastanza numerose appare essere non possibile il fissare l’attenzione su ciascuna di esse (troppe informazioni equivalgono a nessuna informazione).
E’ quindi necessario definire (inventare) pochi parametri essenziali, capaci di descrivere con sufficiente precisione i caratteri fondamentali dei dati osservati.
Sono stati identificati, quali parametri necessari per dare una descrizione essenziale di una nube di osservazioni:
- un parametro capace di descrivere la loro localizzazione;
- un parametro capace di descrivere la loro dispersione;
Il parametro più usato per localizzare l’insieme delle osservazioni è la media aritmetica. Se indichiamo con x_i (i = 1 .. N) il risultato di ogni singola misura, la media della misura viene calcolata con la relazione:
Una volta localizzate le osservazioni, è facile riconoscere nelle differenze degli indicatori di dispersione. Per evitare gli inconvenienti che derivano dal fatto che le differenze anzidette sono sia positive che negative (a somma zero), si definisce, come parametro descrittivo della dispersione, la varianza dell’insieme delle osservazioni:
Per ragioni di omogeneità nelle unità di misura, si preferisce usare, come parametro indicatore finale, la radice quadrata della varianza, a cui viene dato il nome come scarto quadratico medio o deviazione standard.
Viene dimostrato, nell’ambito delle ipotesi di Gauss, che, se un insieme di osservazioni ha media
-
- la probabilità che la misura esatta cada nell’intervallo
- la probabilità che la misura esatta cada nell’intervallo
- la probabilità che la misura esatta cada nell’intervallo
Spesso, per Teoria degli Errori si intende (tacitamente) la teoria degli errori accidentali, in quanto è solo questa parte che offre lo spunto per analisi teoriche, dal contenuto e dalle conseguenze notevoli.
Domande da interrogazione
- Che cos'è un errore casuale e come può essere ridotto?
- Qual è la legge di Gauss e come si applica agli errori casuali?
- Quali parametri sono essenziali per descrivere una serie di osservazioni sperimentali?
- Come si calcola la media aritmetica di una serie di misure?
- Qual è la probabilità che una misura esatta cada in determinati intervalli rispetto alla media e alla deviazione standard?
Un errore casuale è un errore di misurazione che può influire in modo uguale in aumento o in diminuzione sul valore misurato. Può essere ridotto attraverso ripetizioni identiche dell'esperimento, poiché i singoli scostamenti si annullano reciprocamente.
La legge di Gauss, o legge normale, esprime la distribuzione della probabilità di un errore casuale. Non tutti gli eventi aleatori seguono questa legge, ma con un numero elevato di misure, è probabile che accada grazie al Teorema del Limite Centrale.
I parametri essenziali sono quelli che descrivono la localizzazione e la dispersione delle osservazioni. La media aritmetica è usata per la localizzazione, mentre la varianza e la deviazione standard descrivono la dispersione.
La media aritmetica si calcola sommando tutti i risultati delle misure e dividendo per il numero totale di misure, secondo la formula: [math] = \frac 1 N \sum_{i=1}^N x_i[/math].
Secondo le ipotesi di Gauss, la probabilità che una misura esatta cada nell'intervallo [math](\mu -\sigma, \mu + \sigma)[/math] è del 68%, nell'intervallo [math](\mu -2\sigma, \mu + 2\sigma)[/math] è del 95%, e nell'intervallo [math](\mu -3\sigma, \mu + 3\sigma)[/math] è del 99%.
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