Strutture matematiche della realtà tesina

Liceo polivalente statale

“don Quirico Punzi”

Esami di Stato

a. s. 2014-2015

classe V sez. B – indirizzo Scienze applicate

I numeri del cosmo

Le strutture matematiche nella realtà

Lavoro di ricerca della candidata Lara Punzi

I numeri del cosmo

Le strutture matematiche nella realtà

«Non solo la matematica è reale, ma è l’unica realtà. L’universo è composto da materia, ovviamente. E la materia è composta da particelle. Ora, di cosa sono fatte le particelle? Di nulla. L’unica cosa che si può dire sulla realtà di un elettrone è citarne le sue proprietà matematiche. Quindi in un certo senso la materia si dissolve completamente e ciò che rimane è semplicemente una struttura matematica»

Martin Gardner

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Indice

Introduzione 4

I capitolo. La matematica: essenza della realtà o invenzione dell’uomo?

1. Il dibattito storico - filosofico 5

2. Le scoperte e riscoperte del numero aureo nella storia 9

II capitolo. Il numero aureo

1. Definizione matematica 14

2. Proprietà elementari 15

3. Rappresentazioni notevoli 16

4. Significato geometrico 16

5. La successione di Fibonacci 21

III capitolo. Le strutture matematiche in natura

1. La fillotassi 24

2. Il numero aureo nel regno animale 27

3. Il ruolo della matematica nelle teorie fisiche 28

IV capitolo. La matematica in letteratura

1. Le affinità fra matematica e letteratura 32

2. La matematica poetica di L. Sinisgalli 34

3. La letteratura combinatoria di I. Calvino 36

4. Lewis Carroll and the game of mathematics 45

Bibliografia & sitografia 51 3

Introduzione

Che cos’è la matematica? Per i più non è che un’ostica materia scolastica, per pochi altri esprime invece una vera e propria filosofia. La si potrebbe definire una scienza, ma già A. Comte nella prima metà del XIX secolo aveva intuito che per la matematica non c’era posto nel suo sistema di classificazione delle scienze: egli, piuttosto, la considerava il fondamento, la base su cui ogni possibile disciplina si erige. Nasce così l’idea che la matematica sia un linguaggio, o meglio ‘il’ linguaggio attraverso cui è possibile tratteggiare le proprietà più recondite dell’Universo in cui viviamo.

Oltre a tutto ciò e a prescindere dall’ampio ventaglio di ipotesi proponibili in risposta alla domanda d’apertura, si pone il problema dell’origine della matematica, ovvero il problema di stabilire se essa sia un’invenzione dell’uomo o una proprietà intrinseca della realtà che alle nostre menti è eccezionalmente dato comprendere. Nonostante il gran numero di prove e controprove avanzate in difesa o in attacco delle più svariate speculazioni, credo che la risoluzione di questa questione non possa soverchiare i confini di un’interpretazione soggettiva, dal momento che la definizione del significato della matematica, come sempre accade quando si tenta di attribuire un senso alle cose, si intreccia in profondità con la visione che una persona ha del mondo.

L’obiettivo di questa tesina è proporre un percorso di approfondimento volto ad scandagliare gli aspetti più autentici della matematica. Le argomentazioni proposte non mirano ad imporre quelle posizioni che esaltano la matematica al punto quasi di divinizzarla. Piuttosto, unica vera intenzione è quella di valorizzare certe prospettive conoscitive, come appunto una visione matematica della realtà, che solitamente vengono messe in secondo piano e ignorate per lungo tempo.

Altro punto fondamentale discusso in questa tesi è il rapporto fra matematica e realtà che, a differenza di quanto suggerisce l’opinione comune, esiste e ha radici alquanto profonde e diramate. Bisogna riconoscere, infatti, che solo grazie alla matematica la scienza ha la possibilità di evidenziare le regolarità e le simmetrie che si presentano nel nostro mondo, siano esse di natura biologica o fisica. Inoltre, fra le strutture matematiche che emergono dall’analisi della realtà, pare che ce ne siano alcune che godono di una certa predilezione da parte della natura. L’esempio che ho scelto di analizzare è quello del numero aureo che, insieme alla successione di Fibonacci, affiora in una moltitudine di situazioni reali, come ad esempio la fillotassi e la descrizione delle strutture anatomiche e dinamiche di alcuni animali.

Nell’ultima parte della tesina ho infine cercato di individuare le corrispondenze esistenti fra matematica e cultura umanistica, in particolare letteraria. Sebbene infatti la tendenza a vedere le materie scientifiche e quelle umanistiche come materie appartenenti a mondi del tutto contrapposti sia tutt’oggi profondamente consolidata, ritengo che approfondire i pensieri di chi, come Italo Calvino, Leonardo Sinisgalli e Lewis Carroll, si è aperto al dialogo fra i due mondi, possa fungere da buono stimolo al fine di combinare scienza e letteratura nell’unico grande sistema che è la cultura dell’uomo.

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I capitolo

La matematica: essenza della realtà o invenzione dell’uomo?

1. Il dibattito storico - filosofico

Due monaci stavano bisticciando a proposito di una bandiera.

Uno disse: ‹‹ La bandiera si muove ››.

L’altro disse: ‹‹ E’ il vento che si muove ››.

Per caso passava di là il sesto patriarca. 1

Disse ai due: ‹‹ Non è il vento, e nemmeno la bandiera; è la mente che si muove ››.

Il dibattito sull’origine della matematica può senz’altro essere incluso nella sfera delle questioni indissolubili della scienza d’ogni tempo. Matematici e fisici, al pari di chiunque altro abbia tentato un approccio sufficientemente intimo con i numeri, sono giunti a chiedersi cosa possa essere nella sua essenza questa materia che, nonostante ad un osservatore superficiale possa apparire astratta ed insignificante, serba invece un’infinità di rivelazioni sulla natura stessa del nostro mondo a chi invece osa addentrarsi nei suoi vicoli travolgenti.

Il centro della questione è una domanda semplice ma cruciale: la matematica costituisce una parte intrinseca della realtà? Oppure è un mero prodotto della mente umana? Entrambe le ipotesi presentano un seguito di prove a proprio favore, tuttavia nessuna di esse pare essere sufficientemente forte da bloccare ogni possibile confutazione. Ciò ha portato allo sviluppo di un variegato ventaglio di orientamenti filosofici differentemente sbilanciati verso l’una o l’altra delle due ipotesi. Cosa induca una persona a sentirsi più incline verso una particolare concezione è difficile da definire, ma sicuramente una preponderante influenza è esercitata dal rapporto stesso che la persona ha con i numeri: credere che l’universo sia inerentemente matematico deve senz’altro apparire molto più semplice ad un fisico che studia la materia a livello di interazioni singole fra elettroni, rispetto, ad esempio, ad un neuroscienziato che ha invece a che fare con i bilioni di particelle elementari che costituiscono il cervello umano.

Fra i primi filosofi ad interessarsi a questo dibattito figura innanzitutto Pitagora, il quale considerava i numeri sia come principi universali, sia come entità viventi implicate attivamente nel processo di creazione della natura. Successivamente, Platone propose una nuova visione in cui i numeri figuravano come oggetti concreti e a sé stanti, immutabili ed eterni, dunque degni di occupare una posizione basilare nella struttura del mondo. Una funzione altrettanto determinante era quella che Euclide, padre della geometria piana, attribuiva alle leggi matematiche, a suo parere uniche responsabili delle manifestazioni del mondo fisico. Queste concezioni secondo cui le entità matematiche esistono indipendentemente dalla mente umana sono tipiche del ‘realismo matematico’.

La porta senza porta,

1 M, Milano, Adelphi, 1994

Umon 6

Nella storia più recente si è avuto un ulteriore sviluppo del realismo nel cosiddetto ‘platonismo matematico’, la cui idea basilare è che i concetti matematici appartengano ad un mondo perfetto e superiore, mentre il mondo terreno di cui abbiamo quotidianamente esperienza ne è solo una copia imperfetta; ciò ricalca chiaramente il dualismo teorizzato da Platone fra Iperuranio e mondo reale, da cui il nome. È comune opinione fra i platonisti che la matematica non venga inventata, bensì scoperta: essa non è cioè un prodotto della nostra mente in quanto esisterebbe anche senza la partecipazione dell’uomo; è come dire che, se pure l’uomo non esistesse, la terra continuerebbe a muoversi seguendo le stesse leggi, così come anche i venti, i mari, le piante, le galassie, ecc … Fra i platonisti più influenti è necessario menzionare l’insigne Kurt Gödel, autore, fra l’altro, dei due noti teoremi di incompletezza dei sistemi formali; egli affermava che i concetti matematici, ma non i numeri o le funzioni, fossero degli oggetti reali autoconsistenti, per cui riteneva possibile coglierli attraverso una percezione simile a quella sensoriale.

D’altra parte, c’è chi continua ad opporre la tesi secondo cui i numeri in quanto tali non possono costituire da soli la causa di tutti i fenomeni reali, ma al massimo possono fornirne una descrizione. Da questo punto di vista, la matematica si riduce ad un banale seppur complesso esercizio di logica che non esiste al di fuori dal pensiero umano; viene quindi intesa come un linguaggio atto a definire relazioni astratte fra enti reali, sulla base di pattern definiti dalla nostra stessa mente, al fine di creare modelli utili per l’uomo e allo stesso tempo di trarre un po’ d’ordine dal caos con cui l’universo si presenta ai nostri occhi inconsapevoli.

Il perseguimento di questo obiettivo è diventato il punto cardine del lavoro di alcuni matematici a partire dalla fine del XIX secolo. In particolare, il matematico tedesco David Hilbert avviò un programma di ricerca volto ad assiomatizzare l’intera matematica; in altre parole, Hilbert voleva creare un modello completo e autoconsistente all’interno del quale ogni proposizione matematica potesse essere descritta come il risultato della manipolazione di a priori, assiomi iniziali, cioè verità note tramite regole di inferenza di carattere deduttivo. In questo modo, Hilbert, anziché preoccuparsi dell’applicabilità dalla matematica nella realtà, intendeva dedicarsi unicamente alla dimostrazione della sua coerenza, quindi della non esistenza di paradossi logici, e della sua autoconsistenza, ovvero della possibilità di decidere la veridicità o falsità di una qualunque proposizione sulla base del solo percorso logico che l’ha generata.

Per Hilbert e per tutti coloro che ne condividono il pensiero, cioè i formalisti, la matematica è una forma di immaginazione, una sorta di gioco metafisico che non si impone alcuna restrizione etica.

Tutto sommato, sebbene il ‘gioco formalista’ sia riuscito ad inquadrare senza troppe difficoltà la geometria euclidea nel proprio modello, stessa cosa non si può dire per il resto della matematica. Il programma di Hilbert, infatti, ha dovuto ammettere la propria infruttuosità nel momento in cui Gödel riuscì a dimostrare che ogni sistema coerente della matematica possiede al suo interno almeno una proposizione indecidibile, ovvero una proposizione la cui veridicità o falsità non può essere provata utilizzando le regole del sistema a cui appartiene; una proposizione del genere può essere valutata solo da una prospettiva esterna, superiore: è cioè necessario ‘uscire dal sistema’. In questo modo, Gödel ha dimostrato che per ogni sistema formale abbastanza complesso, qualunque insieme di assiomi si scelga, esso non potrà mai essere completo perché sarà sempre possibile individuare un enunciato che ne rimarrà escluso o riguardo il quale non si potrà decidere se appartenga o meno al sistema stesso. Un’ovvia implicazione di questo teorema pare essere l’impossibilità di perseguire una completa rappresentazione dell’universo tramite la matematica.

Nonostante lo scacco di Gödel al formalismo, una sua versione ammorbidita continuò ad essere praticata dai matematici meno interessati alle implicazioni filosofiche di questa materia e, in particolare, da un consorzio di matematici francesi noto con lo pseudonimo di ‘Nicolas Bourbaki’, dal nome di un eccentrico ufficiale dell’esercito di Francia che nella seconda metà dell’Ottocento rifiutò l’offerta al trono di Grecia per poi morire in miseria. Il gruppo Bourbaki si proponeva di codificare in maniera unificata per lo meno la parte decidibile della matematica al fine di mettere in risalto le strutture algebriche e gli assiomi comuni alle diverse branche, così da sfruttarle in maniera trasversale. Sebbene anche questo progetto non poté che arrendersi di fronte alla mancanza di una qualsiasi prova di autoconsistenza, i libri di testo che scaturirono ebbero comunque una notevole influenza negli anni ’50 e ’60, soprattutto in ambito scolastico.

Una diversa interpretazione non platonista della matematica è quella proposta dal ‘costruttivismo’, anche detto ‘intuizionismo’. Secondo quest’approccio, tra i cui propulsori compaiono Luitzen Brouwer e Leopold Kronecker, gli unici enunciati veri sono quelli che possono essere derivati tramite la mera intuizione a partire da nozioni elementari, quali ad esempio i numeri naturali, in un numero finito di passi. Una prima critica al costruttivismo sorge spontaneamente dalla constatazione che ogni uomo intuisce in modo diverso, per cui qualsiasi affermazione matematica dovrebbe diventare soggettiva e condizionata da chi l’ha prodotta. Tra l’altro, per un costruttivista, affermare che un oggetto matematico esiste equivale a dire che esso può essere “costruito” mentalmente, mentre provare l’impossibilità della sua non esistenza non è sufficiente a dimostrarne l’esistenza, come invece asserisce il principio logico del terzo escluso. È così spiegato il motivo per cui il costruttivismo è guardato con molta ostilità dalla gran parte dei matematici e fisici: esso ne limita fortemente la ricerca in quanto rifiuta alcuni metodi classici di dimostrazione come la reductio ad absurdum.

È interessante osservare come questo approccio sia stato assunto come posizione filosofica da molti fisici moderni, soprattutto nell’ambito di fisici teorici come Penrose e Schrödinger, ma anche da intellettuali e letterati come Calvino e Pirandello. Espandendo infatti i concetti basilari del costruttivismo ad una visione più ampia della realtà, risulta facile approdare al relativismo e al soggettivismo. Così come gli enunciati matematici sono il prodotto di intuizioni personali, allo stesso modo la vita può essere intesa come un processo cognitivo che trae origine dall’esperienza individuale di ognuno di noi; di conseguenza, ogni verità non può che essere interpretata come una verità relativa allo stato spazio-temporale sia dell’osservatore che dell’oggetto osservato.

In seguito alla divulgazione dei Teoremi di Incompletezza di Gödel, dimostrati nel 1931, le teorie formaliste e intuizioniste furono tuttavia condannate a subire una seconda battuta d’arresto nel 1960, anno in cui il fisico Eugene Wigner pubblicò un articolo intitolato The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences 2, nel quale discute sulla questione dell’applicazione quasi “miracolosa” della matematica nella fisica. Egli mette in luce quanto sia misterioso il fatto che sia possibile ricondurre qualunque fenomeno fisico ad una formulazione in termini matematici delle leggi di natura. Naturalmente non esiste alcuna spiegazione razionale per questo, tuttavia Wigner giunge alla conclusione che l’unica interpretazione ammissibile è che la matematica, da lui definita ’dono meraviglioso’, non solo costituisce lo strumento attraverso cui valutare ed esaminare i fenomeni fisici, ma possiede anche un grado di verità ben più elevato: essa costituisce cioè l’unico valido linguaggio attraverso cui poter formulare tali fenomeni, come aveva già affermato Galileo Galilei ne Il Saggiatore 3.

Un altro aspetto molto interessante nell’ambito di questo dibattito è la ricorrenza con cui certe teorie matematiche puramente astratte, formulate inizialmente al fine di descrivere nessun fenomeno, vengano riprese ad utilizzate decenni, o addirittura secoli, più tardi, per descrivere una particolare manifestazione della natura che vi corrisponde perfettamente. Inoltre, a chi ritiene che la matematica sia un’invenzione della mente umana, condizionata dai fattori culturali e biologici dei popoli, si può opporre la constatazione che stessi concetti matematici sono stati scoperti e riscoperti in maniera indipendente da uomini di culture diverse e in periodi storici diversi.