Sezione aurea

di Michela Sonn

Liceo scientifico e linguistico Leonardo Da Vinci - Trento

5sA

2010-2011

Indice

• 1. Introduzione alla scelta dell'argomento
• 2. Concetti matematici e geometrici sulla sezione aurea
• 2.1 Definizione: cos'è la sezione aurea?
• 2.2 Le proprietà
• 2.3 Costruzione geometrica, triangolo e rettangolo aureo
• 2.4 La successione di Fibonacci
• 3. La sezione aurea nelle arti
• 3.1 L'ambito artistico
• 3.2 In natura
• 3.3 In "letteratura"
• 4. Bibliografia

1. Introduzione alla scelta dell'argomento

Vorrei innanzitutto chiarire il perché abbia deciso di soffermarmi su un argomento come la sezione aurea per la mia tesina di maturità.

Non ho mai nutrito particolare interesse verso questo tema, anzi, addirittura mi suscitava noia e avversione. Ho cambiato idea solamente quando ho scoperto in modo più approfondito cosa realmente è la sezione aurea. E di conseguenza cos'è il numero aureo.

Così ho deciso di portare la sezione aurea alla maturità, che se non ha la pretesa di essere un argomento originale, perlomeno lo ritengo interessante e degno di approfondimento.

Forse scegliere una materia come matematica da portare in tesina potrà sembrare strano, se non addirittura inopportuno, ma forse è proprio guardando oltre l'apparenza dei numeri, oltre il semplice calcolo matematico, che possiamo scoprire nuove cose, le quali, chissà, magari risulteranno essere più appassionanti proprio perché traggono origine da delle cifre.

Ho sempre pensato alla matematica come a una certezza. Se devi risolvere un'equazione e hai la soluzione sul libro, quello è ciò che deve venire, quello che deve risultare. Un numero.

E non hai molti modi per arrivarci, se non per calcoli, per somme e sottrazioni. Le strade da seguire portano tutte alla stessa fine, allo stesso numero.

Per questo la matematica è bella. È uguale in tutto il mondo, e i calcoli devono portare sempre alla medesima conclusione.

La sezione aurea, e il numero aureo, richiamano in tal senso le leggi della matematica. Possiamo trovare qualcosa in comune tra un ananas e un girasole, tra un'opera di Leonardo Da Vinci e una carta di credito.

Qual è il legame che li unisce? Un numero. Per la precisione, il numero aureo. Perché è proprio lui e nessun altro però, nessuno è mai riuscito a spiegarlo.

A tal proposito, e con questo concludo la mia introduzione, ritengo interessante partire da una citazione di Dan Brown, tratta da "Il codice Da Vinci", in cui un professore si propone di spiegare ai suoi studenti, cosa che proverò a fare anch'io, cos'è la sezione aurea e qual è il suo legame con il mondo che ci circonda.

"All'improvviso gli parve di essere ritornato ad Harvard, davanti ai suoi studenti del corso "il simbolismo nell'arte" e di scrivere alla lavagna il suo numero preferito.

1,618

Chi mi sa dire che numero è?

Il numero phi

Langdon si era voltato verso la sua aula piena di studenti ansiosi.

Un diplomato in matematica, nelle ultime file, aveva alzato la mano.

"fi".

Lo pronunciava

"Questo numero phi"

"1,618, è un numero molto importante per l'arte. chi mi sa dire il perché?"

"Perché è bello?".

(...) aveva continuato Langdon,

(...) "Tutti avevano riso.

"A dire il vero" Stettner ha di nuovo ragione. In genere, phi è considerato il più bel numero dell'universo."

2. Concetti matematici e geometrici sulla sezione aurea

2.1 Definizione: cos'è la sezione aurea?

Si definisce sezione aurea di un segmento l quella parte x di esso che è media proporzionale tra l'intero segmento e il rimanente.

In formule, indicando con la lunghezza maggiore e con x la lunghezza minore, vale la relazione:

l: x = x: (l − x)

x² = l² − lx

x² + lx − l² = 0

x = l (−1 ± √5) / 2

x_1,2 = l (√5 − 1) / 2

x = l (√5 − 1) / 2

E consideriamo solo la soluzione positiva perché si tratta di una parte di segmento.

Si definisce numero aureo il rapporto tra questa grandezza l e la sua parte aurea, tale che

φ = l / x.

Questo rapporto vale approssimativamente 1,6180 ed è esprimibile per mezzo della formula:

φ = l / x = (√5 + 1) / 2 = (√5 + 1) / 2 = 1,6180339887...

Il valore così definito è un numero irrazionale. Esso può essere approssimato, con crescente precisione, dai rapporti fra due termini successivi della successione di Fibonacci, a cui è strettamente collegato e che prenderemo in esame in seguito.

Sia le proprietà geometriche e matematiche del numero aureo, che la frequente riproposizione di questo in svariati contesti naturali e culturali, apparentemente non collegati tra loro, hanno impressionato nei secoli la mente dell'uomo, che è arrivato a cogliervi col tempo un ideale di bellezza e armonia, spingendosi a ricercarlo e, in alcuni casi, a ricrearlo nell'ambiente antropico quale "canone di bellezza"; testimonianza ne è forse la storia del nome che in epoche più recenti ha assunto gli appellativi di "aureo" o "divino", proprio a dimostrazione del fascino esercitato.

Φ

2.2 Le proprietà di Φ

Il perché questo numero abbia affascinato così tanto studiosi di tutte le discipline va ricercato, innanzitutto, nelle sue singolari proprietà algebriche, alcune delle quali vengono elencate qui di seguito:

• Se calcoliamo il reciproco 1/Φ, il risultato che otteniamo è esattamente Φ − 1.

Φ − 1 = (√5 + 1) / 2 − 1 = (√5 − 1) / 2 = 1 / Φ

È facile intuire poi come il quadrato di Φ meno l'unità dia ancora una volta il valore di Φ,

Φ² = (√5 + 1)² / 4 = (6 + 2√5) / 4 = (3 + √5) / 2 = (2 + 1 + √5) / 2 = 1 + Φ

⇒ Φ − 1 / Φ = Φ = 1 + 1 / Φ

Da ciò ne consegue che

Se sostituiamo, nella parte destra, al posto di Φ questa nuova espressione otteniamo

Ripetendo lo stesso procedimento per più volte diamo origine a un'equazione particolare:

2.3 Costruzione geometrica, triangolo e rettangolo aureo