Quantum computer e crittografia quantistica

Il futuro dell’informatica e della sicurezza nelle comunicazioni

Di Lorenzo Cesaretti

Introduzione

Un gruppo sempre più folto di scienziati sostiene che il futuro dell’informatica non avrà nulla a che vedere con i vecchi microchip fatti di miliardi e miliardi di “semplici” transistor di silicio ma piuttosto sarà popolato da nuove macchine raffinatissime costituite da molecole, raggi laser e superconduttori, funzionanti non secondo le leggi “classiche” dell’elettronica, ma secondo quelle della meccanica quantistica.

Per comprendere come sono fatti questi nuovi computer introdurremo nel prossimo capitolo questa branca della fisica. 2

Capitolo primo

La meccanica quantistica

La meccanica quantistica è un complesso di teorie fisiche formulate nella prima metà del XX secolo che descrivono il comportamento della materia a livello microscopico, a scale di lunghezza inferiori o uguali a quelle dell’atomo o alle energie tipiche delle interazioni nucleari, dove cadono le ipotesi alla base della meccanica classica.

Questa nuova teoria fu elaborata per spiegare alcune contraddizioni tra modelli teorici e dati sperimentali emerse alla fine del 1800: gli spettri di emissione degli atomi, caratterizzati da una struttura discontinua, formata cioè da righe distinte, non spiegabili mediante le leggi dell’elettromagnetismo classico (ad esempio in figura 1 gli spettri del sodio); il problema del “corpo nero”, cioè lo spettro della radiazione emessa da un corpo caldo in funzione della frequenza, non spiegabile attraverso le teorie classiche.

Più precisamente un corpo nero è un corpo ideale che assorbe tutte le onde elettromagnetiche che lo investono ed emette energia sotto forma di radiazione continua di intensità crescente all’aumentare della temperatura.

Praticamente un corpo nero si ottiene con un involucro di pareti buone conduttrici di calore internamente annerito con nerofumo; nell’involucro si pratica un piccolissimo foro in libera comunicazione con l’esterno.

A seguito delle riflessioni multiple sulle pareti interne della cavità ogni radiazione che penetra attraverso questo foro è praticamente tutta assorbita.

L’elettromagnetismo classico non riusciva però a spiegare l’emissione di energia di questo corpo, soprattutto a frequenze basse.

Nel 1900 Planck riuscì a risolvere la questione, ipotizzando che l’energia (E) emessa da corpi fossi 3 quantizzata, cioè fosse costituita da multipli discreti di una quantità fondamentale (hν), detta quanto d’energia: E = hν (dove ν è la frequenza della radiazione, h è una

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Χ

costante universale pari a 6,6 10⁻ Js).

Planck stesso fu quasi spaventato dal suo concetto innovativo di quanto, tanto che lo definì una “fortunata violenza puramente matematica contro le leggi della fisica classica”; la sua ipotesi infatti costituiva una vera e propria rivoluzione concettuale: si stava passando da una logica di continuità energetica dei fenomeni naturali (il continuo classico di Galileo, Leibniz, Newton, Maxwell), ad una concezione di discontinuità, in cui l’energia emessa dai corpi poteva essere scambiata sotto forma di tanti pacchetti proporzionali alla frequenza mediante la costante di Planck.

Nel 1905 Einstein applicò l’ipotesi quantistica per interpretare l’effetto fotoelettrico (l’emissione di elettroni da parte di una superficie metallica illuminata da una radiazione elettromagnetica), affermando che la radiazione luminosa è composta da pacchetti discreti di energia che interagiscono singolarmente con gli elettroni del metallo; Einstein ipotizzò cioè un modello corpuscolare della luce, composta da un insieme di quanti di energia, detti fotoni.

Nel 1913 Bohr propose un modello atomico planetario in cui gli elettroni negativi ruotano intorno al nucleo positivo su differenti orbite discrete stazionarie corrispondenti a diversi livelli energetici quantizzati.

Questo modello permetteva la spiegazione della struttura discreta degli spettri di emissione: gli atomi possono scambiare energia solo mediante salti degli elettroni tra le diverse orbite, quindi sono emesse solo righe spettrali aventi frequenze ν = (E - E )/h corrispondenti alle

nm n m

transizioni permesse tra i livelli energetici E ed E tipici dell’atomo.

n m

L’influenza della meccanica quantistica sull’informatica

Perché la meccanica quantistica influenza anche l’informatica? Per rispondere a questa domanda dobbiamo fare riferimento alla legge di Moore, formulata da Gordon Moore negli anni ’60: ogni diciotto mesi la potenza di calcolo dei processori in media raddoppia.

Ciò è possibile grazie all’ingegno umano: i computer sono diventati sempre più veloci perché gli ingegneri sono riusciti a miniaturizzare sempre più i circuiti e le porte logiche che ne costituiscono il nucleo.

Se dimezziamo l’ingombro di un componente di base, ne possiamo inserire il doppio nello stesso spazio, e quindi raddoppiare la velocità di calcolo.

In base alla legge di Moore, tra breve l’ordine di grandezza di componenti informatici dovrebbe scendere fino a diventare quello di un 4 atomo, raggiungendo quindi la scala di lunghezza governata dalle leggi della meccanica quantistica.

Il grafico precedente mostra l’aumento del numero dei transistor nei circuiti integrati dei computer dal 1971 al 2004: la legge ipotizzata da Moore è stata confermata in linea di principio, anche se il ritmo di crescita è stato un po’ più lento in quanto i processori anziché ogni 18 mesi sono raddoppiati di velocità ogni 24 mesi.

Due sono i principi della meccanica quantistica che risultano determinanti per un computer quantistico: il principio di indeterminazione e il principio di sovrapposizione.

Principio di indeterminazione

Questo principio fu formulato nel 1927 da Werner Heisenberg, ed esprime l’impossibilità di conoscere nello stesso tempo con precisione assoluta la posizione e la quantità di moto di una particella quantistica.

Il principio di indeterminazione esprime il modo in cui sono legati i livelli di precisione con cui si possono determinare queste due grandezze complementari: una qualsiasi misura che renda più esatto il valore di una certa grandezza, automaticamente fa diminuire la precisione con cui si può conoscere la complementare.

La misura è nei fatti un’azione che disturba il sistema, introducendo un’inevitabile livello di indeterminazione sul valore rilevato.

Ha scritto Heisenberg: “Nella discussione di alcune esperienze occorre prendere in esame quella interazione tra oggetto e osservatore che è necessariamente congiunta ad ogni osservazione.

Nelle teorie classiche questa interazione veniva considerata o come trascurabilmente piccola o come controllabile in modo da poterne eliminare l’influenza per mezzo di calcoli.

Nella fisica atomica tale ammissione non si può fare perché, a causa della discontinuità degli eventi atomici, ogni interazione può produrre variazioni parzialmente incontrollabili o relativamente gravi” (I principi fisici della teoria dei quanti).

Principio di sovrapposizione

Questo principio afferma che i sistemi microscopici si trovano in uno stato quantistico costituito dalla sovrapposizione, cioè dalla combinazione lineare in termini matematici, di tutti i possibili stati in cui esso può esistere; è uno stato non definibile secondo le regole della logica classica che rappresenta tutte le proprietà potenziali di un sistema quantistico che viene poi determinato in seguito ad un processo di misura.

A priori si può conoscere solo la probabilità che una misura riveli uno degli stati possibili del sistema.

A chi non è mai capitato, guardando attraverso il vetro di una finestra, di vedere non solo il paesaggio esterno ma spesso anche la propria immagine, più o meno nitidamente?

Questo fenomeno, troppo spesso osservato con indifferenza, è in realtà uno straordinario esempio per entrare direttamente in contatto con il mondo quantistico.

La luce, come detto in precedenza, è costituita da fotoni.

Questi ultimi attraversano il vetro per mostrare il paesaggio; ma non è detto.

Il mondo quantistico delle particelle non è un mondo di certezze ma di possibilità.

Il fotone che colpisce il vetro può attraversarlo, ma può anche esserne riflesso: il fotone ha una certa probabilità di passare o meno attraverso il vetro.

È proprio questo il principio di sovrapposizione: se un’entità quantistica può assumere due valori o essere in due stati sarà in una sovrapposizione dei due, con una probabilità non nulla di essere nell’uno o nell’altro.

In una sovrapposizione, a differenza di un miscuglio, non si può dire che un corpo si trovi realmente in uno stato o nell’altro; la sovrapposizione contiene tutti i casi possibili, ma non equivale ad alcuno di essi.

Possiamo concludere che lo stato di una particella è dato dalla sovrapposizione di tutti i suoi possibili stati futuri, ciascuno “pesato” con una probabilità. 6

Capitolo secondo

Teoria quantistica dell’informazione

La teoria dell’informazione è la teoria matematica che si occupa della trasmissione, dello stoccaggio, e dell’elaborazione dei dati, aspetti che riguardano molto da vicino il computer, sia classico che quantistico.

L’informazione è fondamentalmente di natura fisica, in quanto ogni elaborazione di dati richiede un supporto fisico.

Questa affermazione, per quanto possa sembrare ovvia, risulta molto interessante se si considera la possibilità di utilizzare supporti che non ubbidiscono alle leggi classiche della meccanica.

L’unità minima di informazione è il bit (dall’inglese “binary unit”) definito come la quantità di informazione equivalente alla scelta tra due alternative possibili.

Il termine bit viene utilizzato anche per indicare il congegno in cui l’informazione stessa viene immagazzinata, ma in questo caso bit sta per “binary digit”, poiché il ricorso al sistema binario è il più conveniente per gli elaboratori elettronici.

La teoria dell’informazione è piuttosto intuitiva: il massimo numero di messaggi diversi che si possono trasmettere utilizzando un oggetto che può trovarsi in uno di un insieme di N stati distinguibili risulta proprio uguale a N.

Attraverso un sistema che può trovarsi solo in 2 stati che possono essere rappresentati dalle due cifre 0 e 1, non è possibile, a livello classico inviare più di due messaggi diversi: ad esempio Alice trasmetterà un bit di informazione corrispondente allo stato (0) per comunicare a Bob che l’indomani potranno incontrarsi, uno corrispondente allo stato (1) per fargli sapere che ciò non è possibile.

Bob esegue una misura e, a seconda dell’informazione, riconosce in modo chiaro il messaggio di Alice.

Se si considera un sistema quantomeccanico oltre allo stato e (0 e 1 sono in notazione bra-ket, usata in meccanica quantistica per descrivere uno stato quantistico), a causa del principio di sovrapposizione esso può trovarsi in qualsiasi loro combinazione lineare (a + b , con a e b che indicano rispettivamente la probabilità di trovarlo in uno stato o nell’altro).

Questo è un concetto poco intuitivo, per capirlo meglio possiamo fare un esempio: il bit classico è come una moneta che una volta lanciata, cadrà a terra mostrando inesorabilmente una delle due facce, mentre il qubit (abbreviazione di bit quantistico) può essere immaginato come una moneta che una volta lanciata cadrà a terra continuando a ruotare su sé stessa senza arrestarsi fino a che qualcuno non la schiacci 7 con una mano bloccandone la rotazione e obbligandola a mostrare una delle due facce.

La realizzazione di un bit quantistico

Isidor Isaac Rabi, premio Nobel per la fisica nel 1944, fu il primo a indicare il modo attraverso il quale scrivere l’informazione in un sistema quantistico, utilizzando atomi di idrogeno.

Immaginiamo un atomo di idrogeno nello stato fondamentale, cui corrisponda una quantità di energia E .

0

Per scrivere un bit 0 su questo atomo non si fa nulla; per scrivervi 1 si eccita l’atomo portandolo a un livello energetico superiore, E .

1

Ciò si ottiene immergendolo in una luce laser costituita da fotoni aventi energia pari alla differenza tra E e E .

1 0

Se il fascio laser ha la giusta intensità ed è applicato per un tempo appropriato, l’atomo passa gradualmente dallo stato fondamentale allo stato eccitato perché il suo elettrone assorbe un fotone.

Se l’atomo si trova già nello stato eccitato, lo stesso impulso gli fa emettere un fotone e lo fa passare nello stato fondamentale.

In termini di registrazione di informazione, l’impulso ordina all’atomo di cambiare, o commutare il suo bit.

Se però la luce appropriata viene applicata per metà del tempo necessario a far passare l’atomo da 0 a 1, quest’ultimo si viene a trovare in uno stato simile alla sovrapposizione dello stato corrispondente allo 0 e dello stato corrispondente all’1.

Questo bit quantistico viene commutato solo a metà, mentre il bit classico vale sempre 0 o 1.

Un condensatore mezzo carico in un calcolatore tradizionale provoca errori, ma un qubit mezzo commutato apre la strada a calcoli di nuovo tipo.

I vantaggi di un bit quantistico

Per cogliere i vantaggi offerti dai qubit rispetto ai loro equivalenti classici cominciamo col considerare un problema estremamente semplice, cioè quello di immagazzinare in un’opportuna collezione di bit un numero in notazione binaria.

Ad esempio consideriamo un caso semplice, il numero 57, che in notazione binaria si scrive 111001, utilizzando quindi 6 bit.

Nel caso classico utilizzeremo tutti e 6 i nostri bit e li metteremo negli stati (1)(1)(1)(0)(0)(1), rispettivamente.

In questo modo avremo immagazzinato l’informazione che ci interessa.

Supponiamo ora di avere 6 bit quantistici, e di prepararli tutti nella loro combinazione lineare, cioè nello stato di 8

 

2 6

 

D 2 64

sovrapposizione tra 0 e 1.

Otterremo ben 64 stati diversi, in cui

6

troveremo non solo il numero 57, ma tutti i numeri naturali da 0 a 63.

Se volessimo memorizzare solo il 57 dovremmo sottoporre lo stato finale a opportune manipolazioni.

È però interessante segnalare come lo stesso numero di bit necessari per immagazzinare, a livello classico, un numero di 6 cifre, ci consente di disporre potenzialmente della registrazione di tutti i numeri con un massimo di 6 cifre in notazione binaria.

Con 6 qubit i 64 stati possono essere memorizzati e manipolati contemporaneamente: