Questione di geometria, tesina

Linda Franceschetti, classe 5, sezione A

Liceo scientifico “Città di Piero”

Tesina per l’Esame di Stato

Anno scolastico 2012/2013

Normalmente, quando ognuno di noi pensa allo spazio, lo pensa in maniera euclidea: fin da piccoli i maestri ci hanno parlato di segmenti, rette, circonferenze… di geometria euclidea.

E se fossero possibili altre geometrie? Se vi fossero più punti di vista? Se la geometria euclidea non bastasse a descrivere la realtà? Nascono le geometrie non euclidee e allora la realtà è questione di geometria.

Una geometria non euclidea è costruita negando o non accettando il quinto postulato di Euclide.

Euclide (330 a.C.-275 a.C. circa), il primo fra i matematici per notorietà, negli Elementi elenca quelli che definisce i postulati fondamentali:

• Da qualsiasi punto si può condurre una retta ad ogni altro punto.
• Ogni retta si può prolungare all'infinito.
• Con ogni centro e ogni distanza si può descrivere un cerchio.
• Tutti gli angoli retti sono uguali tra di loro.
• Se una retta incontra due rette e con esse forma, dalla stessa parte, angoli interni la somma dei quali è minore di due retti, allora le due rette si incontrano, se le si prolunga dalla parte detta.

I postulati, o assiomi, esprimono delle verità da tutti riconosciute, delle proprietà evidenti suggerite dalla nostra intuizione e dalla nostra esperienza.

Questi, insieme ai concetti primitivi¹, sono utilizzati per la dimostrazione dei vari teoremi che altrimenti non potrebbero essere accettati per la loro “non evidenza”.

L’evidenza del quinto postulato di Euclide rimane però oscura, infatti questo assioma non potrà mai essere verificato sperimentalmente per la mancanza di mezzi materiali.

Proponendo il quinto postulato nella forma equivalente che ha elaborato Proclo, commentatore di Euclide, e solitamente impiegata nei testi scolastici, potremmo meglio capirne il perché:

“Dati in un piano una retta ed un punto che si trova al di fuori di essa, esiste una ed una sola retta passante per il punto e parallela alla retta data”.

Il parallelismo, ossia il non incontrarsi di due rette, a cui il postulato fa riferimento, non può avere verifiche pratiche, poiché rimanda ad una costruzione geometrica che non si limita ad una porzione finita di piano.

Si dovrebbe infatti prolungare le rette all’infinito, ma la massima lunghezza di ogni linea “reale” è certamente finita.

Per due millenni, i matematici successivi ad Euclide hanno tentato di riformulare, sostituire, dimostrare il postulato per poi arrendersi all’evidenza dell’impossibilità di dimostrarlo, arrivando così alla formulazione delle prime geometrie non euclidee.

Nel 1763, G. S. Klügel, allievo di Kaestner, nella sua tesi parla dell’esistenza di ben ottantadue tentativi di dimostrazione del quinto postulato, tutti inadeguati.

L’irraggiungibile dimostrazione del quinto postulato porterà l’ungherese Farkas Bolyai (1775-1856) a dire:

“È incomprensibile che sia stata tollerata questa invincibile oscurità, questa perpetua eclissi solare, questa macchia sulla geometria, questa eterna nube sopra la verginale verità.”

¹ Concetti primitivi: concetti che non si possono definire con idee più elementari, ma che sono espressi da parole il cui significato è noto a tutti. Ad esempio il concetto di movimento rigido, cioè quello per cui una figura può muoversi nel piano o nello spazio senza deformarsi, e quello di appartenenza.

Il figlio János Bolyai, non arrendendosi davanti alla disperazione del padre, ipotizzò la reale esistenza di infinite parallele per un punto a una retta, arrivando alla formulazione di una nuova geometria in cui quindi il quinto postulato veniva sostituito dall’assioma che ammette l’esistenza di due distinte parallele condotte a una retta per un punto esterno ad essa.

Pubblicò i suoi risultati nel 1831, ignaro che cinque anni prima il russo Nikolay Ivanovič Lobačevskij (1793-1856), con un lavoro del tutto indipendente, arrivò ai medesimi risultati formulando quella che lui chiamò “geometria immaginaria” o “pangeometria”.

I principali “modelli” che danno una rappresentazione intuitiva di questa geometria, oggi chiamata iperbolica, sono quelli di Felix Klein, Henri Poincaré e Eugenio Beltrami.

Con un esempio semplice ed elementare si può meglio comprendere cosa si intenda per geometria iperbolica.

Consideriamo un uomo bidimensionale che vive all’interno di un cerchio euclideo di raggio 1, immerso in uno strano gas, il quale ne provoca il restringimento man mano che si allontana dal centro.

Consideriamolo con in mano una riga lunga 1 metro, partendo dal centro e spostandosi lungo un raggio. Per effetto del gas, da un punto di vista esterno al cerchio si vede la riga diventare sempre più piccola e con essa l’uomo stesso.

Egli però non si accorgerebbe di nulla in quanto il rimpicciolimento della riga è proporzionale al rimpicciolimento del suo corpo.

L’universo in cui vive sembrerà all’uomo infinitamente esteso, infatti camminando lungo il raggio non raggiungerà mai il bordo del cerchio, perché diventa sempre più piccolo mentre il suo metro si accorcia sempre di più.

L’universo è per lui un piano esteso all’infinito in tutte le direzioni e non un cerchio.

Definirà segmento il cammino più breve tra due punti del piano, rendendosi anche conto che ogni segmento può essere prolungato in rette che proseguono all’infinito; rette che a noi, dal fuori, sembreranno diametri e archi di circonferenza ortogonali al bordo.

Definirà parallele due rette che non si incontrano mai, così che, fissata una retta r e un punto P che non le appartiene, è in grado di tracciare infinite parallele a r passanti per P.

Inoltre si può anche osservare che in questo strano mondo la somma degli angoli interni ad un triangolo è minore di 180°.

Alla luce di questo esempio esemplificativo si può meglio comprendere il modello di Klein.

Modello di Klein di geometria iperbolica

Felix Klein: matematico tedesco (Düsseldorf 1849-Gottinga 1925).

Data una circonferenza T si chiama:

• Punto di Klein un qualunque punto P, interno a T;
• Retta di Klein una qualunque corda AB di T, esclusi gli estremi;
• Piano di Klein l’insieme dei punti interni a T.

Inoltre: due rette di Klein si dicono incidenti se hanno in comune un punto di Klein.

Due rette di Klein si dicono parallele se hanno in comune un punto di T.

Si può dimostrare che questi enti, punti, rette, piano di Klein, verificano gli assiomi della geometria euclidea, escluso l’assioma delle parallele; vale invece la seguente proprietà:

In un piano esistono almeno due rette, passanti per un punto e parallele a una data retta.

Geometria ellittica di Riemann

Un altro tipo di geometria non euclidea venne individuato dal tedesco Bernhard Riemann (1826-1866), in cui il quinto postulato di Euclide è riformulato in modo da affermare la non esistenza di parallele ad una retta passanti da un punto esterno ad essa.

Il postulato di Euclide viene pertanto invalidato dall’introduzione di questo nuovo assioma e, a seconda delle modifiche che si apportano agli assiomi, si possono originare o la geometria ellittica semplice o la geometria ellittica doppia, più conosciuta come geometria sferica.

Le due geometrie sono strettamente legate l’una all’altra, infatti, limitandosi a considerazioni di carattere locale, le due geometrie possono essere considerate coincidenti.

Prendendo in considerazione come piano la superficie della sfera, come punto un punto della superficie sferica e come retta una circonferenza massima:

“Partendo dall'ipotesi che due rette in un piano hanno sempre almeno un punto in comune e che quindi in un piano non si può condurre, nel senso euclideo del termine, una retta parallela ad un'altra, per un punto ad essa esterno, si può arrivare a dimostrare che tutte le perpendicolari ad una retta r da una stessa parte di essa, passano per un punto P, equidistante da ogni punto di r.

Se immaginiamo, poi, tutte le rette della parte opposta, possiamo notare che queste si incontrano tutte in un punto P', con le stesse caratteristiche di P.

Al problema di sapere se P ed P' coincidono possiamo dare due risposte: