Farfalle e uragani

“Butterflies and Hurricanes”

Tesina di Maturità

Stefano Imperatore

Classe VD A.S.: 2010/2011

Liceo scientifico “E. Fermi”, Sulmona 1

2

Sommario

I - The Butterfly Effect. Sensitive dependence on initial condition 5

Nozioni generali e sistemi dinamici 6

Teoria del caos 9

Sistemi discreti 12

Sistemi continui: Attrattori 14

L’attrattore di Lorenz 15

Comportamento caotico del sistema di Lorenz 19

Sensibilità alle condizioni iniziali 19

Attrattore di Lorenz in tre dimensioni 21

Effetto Farfalla 24

II - Fenomeni Atmosferici. Sistemi caotici o ordine imperscrutabile? 27

Il vento e l’uomo 28

Aria ed atmosfera 30

Sistemi caotici: uragani.... 34

... e tornado 37

Previsioni atmosferiche e movimenti degli uragani 39

III - Il clinamen. L’implicazione del caso nei movimenti degli atomi 41

Il clinamen in Lucrezio 42

IV - La paralisi del Volo. Il concetto di angoscia in Kierkegaard 45

L’importanza della scelta e la filosofia del singolo 46

La scelta: Kant contro Kierkegaard 48

La paralisi del volo: l’angoscia 49

V - The merest touch of a hand. The Butterfly Effect in Ray Bradbury 51

The Sound of Thunder 52

Reading the tale: the Butterfly Effect 53

Documenti allegati:

The Sound of Thunder - Ray Bradbury 57

Butterflies and hurricanes - Muse 71

Bibliografia 72 3

4

I

The Butterfly Effect

Sensitive dependence on initial condition 5

Nozioni generali e sistemi dinamici

Il cosiddetto Butterfly Effect deve i suoi natali al meteorologo e scienziato Edward Lorenz (23 Maggio 1917 – 08 Aprile 2008), che ipotizzatolo nel 1961, portò avanti le sue ricerche strutturandole in una relazione presentata il 29 Dicembre 1972 alla Conferenza annuale dell’American Association for the Advancement of Science, chiamata [È

Does a Flap of a Butterfly’s Wings in Brazil set off a Tornado in Texas?

possibile che il battito d’ali di una farfalla in Brasile sia in grado di provocare un

Da questa relazione il Butterfly Effect fu riconosciuto come

uragano in Texas?]. ovvero dipendenza sensibile dalle

sensitive dependence on initial condition,

condizioni iniziali.

Tuttavia Lorenz non fu il primo a riflettere su una simile dipendenza di un qualsiasi evento dalle sue condizioni iniziali. Già Alan Turin aveva ipotizzato tale evento in ambiti micro-atomici, con quello che è diventato l’aforisma del Butterfly Effect:

Lo spostamento di un singolo elettrone per un miliardesimo di centimentro, a un momento dato, potrebbe significare la differenza tra due avvenimenti molto diversi, come l’uccisione di un uomo un anno dopo, a causa di una valanga, o la sua salvezza.

Anche Ray Bradbury pochi anni dopo, nel 1952, pubblicava il racconto The Sound of Thunder, nel quale l’effetto farfalla era calato all’interno di un ambiente fantascientifico di viaggi nel tempo, dove la morte di una piccola farfalla causa enormi ripercussioni nello svolgersi degli eventi; ma di questo racconto ci occuperemo meglio successivamente. Restiamo comunque all’interno del suddetto assunto formulato da Edward Lorenz.

Per comprendere meglio tutto ciò dobbiamo fare però prima un passo indietro nella conoscenza matematica di tale fenomeno.

Innanzitutto tale effetto è verificabile solo in un sistema dinamico, dove viene definito tale il sistema matematico in cui vi è una legge che descrive la dipendenza dal trascorrere del tempo della posizione di un punto nello spazio. Ciò che significa esattamente? Che ogni punto dell’eventuale grafico del sistema è definito da variabili dipendenti dal trascorrere del tempo. 6

Figura 1: Esempio generico di sistema astratto

Lo stato del sistema rappresenta l’insieme delle informazioni necessarie a fare in modo che il legame tra l’ingresso e l’uscita sia unico (l’uscita del sistema dipende dall’ingresso applicato a delle condizioni iniziali, iniziali, si veda la fig. 1).

1 Per essere più specifici: un sistema dinamico ha uno stato determinato da una serie di numeri reali, o più propriamente da una serie di punti che descrivono descrivono lo stato dello spazio in quel determinato istante di tempo. Ne consegue nei sistemi lineari che un piccolo cambiamento nello stato del sistema corrisponde a piccole variazioni nelle serie di numeri. Inoltre sempre nei sistemi lineari è ricavabile la legge evolutiva, quella legge che, valida per lo stato corrente, descrive con precisione l’evolversi del sistema nel tempo. Una volta risolta la legge evolutiva, reiterando i risultati nel tempo per un numero sufficiente di volte si ricava quella che viene definita la traiettoria o orbita del sistema.

Vi sono tuttavia dei sistemi dinamici non lineari, che in quanto dinamici dipendono dal trascorrere del tempo, ma che in quanto non lineari presentano un legge evolutiva che a volte non risulta calcolabile.

Non vi è alcuna regola che, reiterata, possa descrivere il comportamento del sistema nel suo immediato futuro, che risulta alquanto incerto. Esempi chiarificatrici di questi sistemi sono alla portata di tutti: il gocciolio di un rubinetto, la crescita della popolazione delle specie animali, la dinamica oscillatoria di un pendolo attaccato ad un sostegno elastico, l’evoluzione del campo magnetico terrestre con le sue inversioni di polarità, sono tutti sistemi di cui la previsione degli istanti futuri è praticamente impossibile. 7

Dallo studio di tali sistemi nasce così nella seconda meta del Novecento la teoria del Caos, dove caos non è inteso però nell’accezione colloquiale del termine di completo disordine, bensì caos deterministico, con le sue le leggi ben definite anche se ancora abbastanza oscure. Tale teoria definisce dunque i limiti alla prevedibilità dell’azione di tali sistemi. Il sistema più celebre con prevedibilità ridotta rimane quello che governa le condizioni meteorologiche, ma anche di queste parleremo in seguito.

Tra le cose che però sono risultate chiare subito di questi sistemi non lineari è la forte dipendenza dalle condizioni iniziali. Mentre infatti in un sistema lineare una piccola variazione nello stato iniziale del sistema provoca una piccola variazione nello stato finale, in un sistema non lineare piccole differenze nelle condizioni iniziali possono causare differenze non prevedibili nel comportamento successivo. 8

Teoria del caos

La teoria del caos è un settore della teoria matematica dei sistemi dinamici che si occupa dei cosiddetti sistemi caotici.

Un sistema dinamico si dice caotico se presenta le seguenti caratteristiche:

• Sensibilità alle condizioni iniziali, ovvero a variazioni infinitesime delle condizioni al contorno corrispondono variazioni finite in uscita. Come esempio banale: il fumo di più fiammiferi accesi in condizioni macroscopicamente molto simili (pressione, temperatura, correnti d’aria) segue traiettorie di volta in volta molto differenti.
• Imprevedibilità, cioè non si può prevedere in anticipo l’andamento del sistema con precisione assoluta, a partire da assegnate condizioni al contorno, ovvero l’evoluzione del sistema è descritta, nello spazio delle fasi, da innumerevoli orbite (traiettorie di stato) diverse tra loro.
• Le orbite nello spazio delle fasi restano comunque tutte confinate in un certo spazio, cioè il sistema non evolve verso l’infinito per nessuna variabile. Si parla in questo caso di “attrattori” o di “caos-deterministico”.

Ad esempio la mappa lineare: =2

( )

è sensibile alle condizioni iniziali (due valori di x leggermente diversi si evolvono divergendo e aumentando la loro distanza) ma il suo andamento è prevedibile e le variabili evolvono verso l’infinito, cioè dopo un numero sufficientemente alto di passaggi diviene maggiore quanto vogliamo. Quindi non ha un comportamento caotico. 9

Mentre la mappa non lineare: = (1-

4 )

( )

è sensibile alle condizioni iniziali, non ha andamento prevedibile e, per valori di x iniziali tra 0 e 1, rimane confinata in uno spazio finito (tra 0 e 1), quindi esibisce un comportamento caotico. Questa semplice equazione viene chiamata mappa logistica, e descrive matematicamente la crescita della popolazione nel tempo.

Figura 2: Traiettoria Di Un Sistema Caotico

Dal punto di vista dell’orbita del sistema nello spazio delle fasi, un sistema caotico presenta spesso una dinamica caratterizzata da un attrattore strano, ma ciò non è da considerarsi una regola assoluta. Ad esempio la seconda mappa presentata sopra non è caratterizzata da un attrattore strano, in quanto nello spazio delle fasi l’orbita può non essere infinita ma ciclica (mentre un attrattore strano ha sempre orbita di infinita lunghezza). Una caratteristica peculiare di un sistema caotico, sebbene deterministico, è l’apparente impredicibilità delle traiettorie del sistema, dovuta alla forte sensibilità rispetto alle condizioni iniziali: un piccolo errore nella conoscenza dello stato del sistema in un certo istante può provocare un errore anche grande nelle previsioni a medio e lungo termine. 10

Un sistema caotico autonomo senza ingressi è necessariamente non lineare. Inoltre, se il tempo varia con continuità, lo spazio degli stati deve avere dimensione almeno 3 in quanto il sistema caotico più semplice è dato dall’equazione di Lorenz (della quale tratteremo in seguito). 11

Esempi di modelli matematici di sistemi dinamici

a) Sistemi discreti

Un sistema dinamico discreto è un sistema che evolve nel tempo, indicando con questo termine che: sia l’ingresso che l’uscita si sviluppano nel tempo e l’evolversi del tempo è da considerarsi all’interno di un insieme discreto.

Un esempio di sistema discreto è la mappa logistica. Quest’ultima è una mappa polinomiale, spesso citata come un esempio di quanto può essere complesso e caotico il comportamento che può risultare da una semplice equazione dinamica non lineare. La mappa fu resa popolare nel 1976 dal biologo Robert May.

Matematicamente la mappa logistica è scritta:

(1 )

= −

−

Dove: è un numero compreso tra zero e uno, e rappresenta la popolazione in un

X n

anno n, e quindi x 0

è un numero positivo, e rappresenta un tasso combinato tra la riproduzione e la fame (morti + nascite) 12

Figura 3: Iterazioni di P al variare di R

Questa equazione non lineare descrive due effetti:

1. La crescita di tipo esponenziale della popolazione (effetto più visibile quando la popolazione è piccola).
2. La competizione intraspecifica quando la popolazione è numerosa, vale a dire la mortalità aggiuntiva dovuta alla competizione degli individui tra loro per assicurarsi il cibo necessario. Questo è tradotto matematicamente con il termine quadratico.

Tuttavia questo modello ipotizza che:

• Le risorse per la popolazione siano illimitate, infinite.
• Non ci sia competizione interspecifica, cioè non vi sia mortalità dovuta a competizione con altre specie. 13

b) Sistemi continui

Attrattori

Gli attrattori strani di un sistema caotico dissipativo sono curve di lunghezza infinita che sono contenute in un volume finito dello spazio delle fasi; la traiettoria dell’attrattore strano è estremamente sensibile alle condizioni iniziali.

Piccole differenze nelle condizioni iniziali si traducono in grandi differenze nelle traiettorie. Tuttavia, la forma complessiva delle traiettorie e la regione dello spazio delle fasi in cui si evolvono non cambiano: traiettorie che partono da punti vicini dello spazio delle fasi si allontanano tra loro, ma seguono globalmente l’andamento dell’attrattore.

In generale: per attrattore strano di un sistema s’intende la figura geometrica che descrive l’andamento complessivo delle traiettorie del sistema nello spazio delle fasi, per fissati valori dei suoi parametri corrispondenti a un comportamento caotico.

C’è una grande differenza tra attrattori normali e attrattori caotici:

• Nel caso di un attrattore normale (per esempio il ciclo di un pendolo forzato da attriti), a partire da condizioni iniziali anche lontane il sistema finisce con il percorrere sempre la stessa traiettoria.
• Nel caso di un attrattore strano, variando di pochissimo le condizioni iniziali le traiettorie percorse si allontano rapidamente, pur non cambiando la forma complessiva della figura geometrica, che chiamiamo attrattore.

L’allontanarsi delle traiettorie che partono da punti vicini è una manifestazione dell’estrema sensibilità dei sistemi dinamici caotici alla scelta delle condizioni reali. 14

L’attrattore di Lorenz

Il primo studio dettagliato di un sistema caotico fu fatto negli anni sessanta dal meteorologo e matematico americano Edward Lorenz.

Nel dicembre del 1961 egli stava studiando il comportamento dell’atmosfera con l’ausilio del più potente calcolatore che aveva a disposizione. Il modello di atmosfera utilizzato era formato da un sistema di dodici equazioni. Un giorno, per guadagnare tempo, anziché lanciare da capo un lungo processo di calcolo, egli lo fece proseguire introducendo nel programma i parametri numerici che aveva ottenuto alla fine del calcolo precedente. Nel far questo scrisse i numeri con tre significative; in particolare scrisse 0.506 invece di 0,506127. Lorenz era infatti convinto che una precisione dell’un per mille fosse sufficiente, ma, con sua grande meraviglia, i risultai del nuovo calcolo coincidevano con quelli del calcolo precedente soltanto per un breve intervallo di tempo; poi cominciavano a divergere e si diversificavano sempre più, come mostrato nella figura 4 (nella pagina seguente), ottenuta direttamente in uscita dal calcolo del 1961. Sull’asse orizzontale compare il tempo, mentre su quello verticale è riportata una variabile che rappresenta una delle dodici grandezze fisiche del modello (il cammino percorso dal vento lungo la direzione Nord-Sud).

Per semplificare la sua analisi prese in considerazione un modello già studiato all’inizio del secolo dal fisico britannico John Rayleigh (1843-1919): il moto di un fluido contenuto tra due superfici piane e parallele, mantenute ad una differenza di temperatura costante. Si può pensare che il fluido chiuso in una scatola molto più lunga larga e profonda che alta, con il fondo tenuto a una temperatura maggiore rispetto alla faccia di sopra. 15

Figura 4: Curve calcolate da Lorenz, la piccola differenza nelle condizioni iniziali le fa divergere

Quando la differenza di temperature tra il fondo e la parete superiore della scatola è piccola, il fluido trasmette calore dal basso verso l’alto e la temperatura diminuisce linearmente con la distanza dal fondo del recipiente. Si stabilisce un regime stazionario, in cui coesistono strati di fluido a temperature gradualmente diverse.

Aumentando la differenza di temperatura il fluido caldo tende a salire e quello freddo a scendere e questo produce dei moti convettivi. In particolare si formano delle correnti vorticose che hanno la forma di un cilindro (come si può osservare in figura 5 di seguito riportata). 16

Figura 5: I vortici cilindrici di fluido che si formano nella scatola riscaldata sul fondo

I vortici sono dovuti al flusso di calore che passa dalla parte inferiore a quella superiore della scatola: basta ridurre a zero la differenza di temperatura perché i vortici scompaiano. Il sistema dinamico <<fluido contenuto in una scatola>> è quindi aperto e dissipativo. Infatti, il sistema è aperto perché riceve energia sotto forma di calore da una sorgente esterna. È dissipativo perché, rimuovendo la sorgente, i vortici dissipano la proprio energia cinetica e scompaiono.

Considerando il fluido nella scatola riscaldata, ci si aspetterebbe un moto dei vortici regolare e costante. Lorenz scoprì che, invece, non accade: i sensi di rotazione dei vortici cambiano senza causa apparente, alternandosi senza alcuna periodicità.

Per descrivere i fenomeni che coinvolgono uno dei vortici cilindrici, Lorenz usò tre grandezze:

• La velocità x di rotazione del cilindro;
• La differenza y di temperatura tra le correnti ascendenti e discendenti del cilindro, misurata lungo l’intersezione del cilindro con il piano mediano, come mostrato in figura 6 (riportata alla pagina successiva);
• Lo scostamento z tra l’andamento effettivo della temperature con l’altezza e l’andamento lineare atteso nel modello più semplice. 17

Queste tre variabili sono funzioni del tempo t e definiscono lo spazio delle fasi tridimensionale del sistema <<vortici di Lorenz>>.

Figura 6: Misura della differenza y di temperatura

Le tre equazioni della fluidodinamica che governano il sistema << vortici di Lorenz>> possono essere ricavate dal secondo principio e contengono, oltre alle tre grandezze

1

e anche tre parametri numerici (A,B e C), che dipendono dal fluido e dallo spazio delle fasi del sistema. Esse furono scritte da Lorenz nella forma:

∆ = ( − )∆

=( )∆ (1)

∆ − −

=( )∆

∆ −

1 Il parametro A è il rapporto tra la viscosità del fluido e la sua conducibilità termica, Lorenz scelse A=10. Il parametro B dipende dalla differenza di temperatura tra le due facce della scatola; per valori superiori ad un certo numero critico si passa dal regime stazionario a quello vorticoso. Lorenz scelse B=20. Infine C è il rapporto tra larghezza e altezza della scatola, che Lorenz prese uguale a 8/3. 18