Butterfly Effect - Il tocco di Dio nelle ali di una farfalla

Butterfly Effect

“Il tocco di Dio, nelle ali di una farfalla”

Andrea Rabito 5°B

Liceo Maria Ausiliatrice - Padova

Anno 2008 - 2009

Sommario

Introduzione pagina 3

• I - The Butterfly Effect

Le Regole del Caos pagina 7

La Teoria del Caos pagina 7

L'Effetto Farfalla pagina 14

• II - Fenomeni Atmosferici

Il vento pagina 19

Aria e Atmosfera pagina 20

Sistemi caotici: uragani e tornado pagina 22

Previsioni atmosferiche e movimenti degli uragani pagina 24

• III - Il varco in Montale

Leggendo Crisalide pagina 27

Condizione umana e ipotesi di un varco pagina 31

Varco: casualità o destino pagina 31

• IV - The Merest Touch of a Hand

The Sound of Thunder pagina 35

A Crime Against Nature pagina 38

Documenti allegati:

• Crisalide – Eugenio Montale pagina 39
• The Sound of Thunder - Ray Bradbury pagina 41
• Mappa Concettuale pagina 49
• Bibliografia pagina 51

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Introduzione

2 Introduzione

Il percorso di studio proposto nasce dal desiderio di approfondire il tema dell’effetto farfalla.

Particolarmente interessante è stato osservare come dalle piccole cose si possono generare enormi conseguenze.

L'enunciato stesso del “butterfly effect”: “è possibile che il battito d’ali di una farfalla in Brasile sia in grado di provocare un uragano in Texas?” (Lorenz) è risultata particolarmente stimolante perché sembra colleghi due fenomeni che per la mente umana non hanno nulla in comune.

La volontà di capire le possibili ripercussioni sul comportamento umano e sulla sua esistenza, hanno deciso per me l'argomento di questo approfondimento.

E' possibile che qualcosa di insignificante posto all’inizio di un processo possa influenzarlo fino a cambiare esponenzialmente le sue conseguenze nel corso del tempo? Da qui ho studiato l’analisi dei sistemi dinamici e come l'effetto farfalla possa influenzare alcune funzioni matematiche come la mappa logistica.

Poi ho affrontato il sistema dei venti e degli uragani, il più soggetto a cambiamenti di questo tipo, e di come gli uragani stessi si muovano entro i limiti di figure non calcolabili chiamati attrattori, frutto anche essi del “butterfly effect” e della teoria del caos in generale.

Tutto questo rimane molto al di fuori della percezione umana, che è invece influenzata da dipendenze sensibili dalle condizioni iniziali molto più quotidiane: il caso e la scelta.

La ricerca si è approfondita attraverso l’idea di varco in Montale, analizzando se tale mezzo per penetrare il segreto del mondo risulta casuale o frutto di un disegno che lo trascende.

Infine per l’idea di scelta prima e stato fatto un parallelo tra Ray Bradbury e Coleridge, dove viene analizzata la possibilità della scelta e le conseguenze che una scelta può determinare. 3

4 I

The Butterfly Effect

The Butterfly Effect 5

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Le regole del caos

Un battito d'ali può provocare un uragano? La risposta è si, grazie a una lunga serie di cause ed effetti che tuttavia resta indecifrabile e non possiamo prevedere. Ma un poco alla volta la scienza sta cercando di mettere ordine anche nei fenomeni disordinati “per natura”.

Può il battito d'ali di una farfalla scatenare un uragano a migliaia di chilometri di distanza?

La nostra atmosfera è formata da molecole di gas e vapore acqueo che interagiscono attraverso semplici urti. Urti che sono alla base delle variazioni climatiche.

Non è una questione banale. Edward Lorenz, meteoreologo del Massachusetts Istitute of Technology di Boston (MIT), fece la stessa affermazione ai colleghi che erano presenti a un congresso, questi restarono allibiti. Lorenz aveva scoperto un fatto nuovo: partendo da due stati iniziali che siano anche solo leggermente differenti un sistema può seguire evoluzioni molto diverse e queste rende le condizioni metereologiche che ci saranno di fatto sostanzialmente impossibili da prevedere.

A ben guardare poi, il caos, ci circonda più di quanto immaginiamo. Il cervello umano è composto da un numero enorme di elementi semplici, i neuroni, che scambiano tra loro impulsi elettrici. Tuttavia questo sistema è capace di percepire sensazione e formare pensieri. Il cervello è dunque ciò che la Fisica definisce “Sistema Complesso”, anzi è il miglior esempio di tale sistema, difficilmente prevedibile e quindi caotico.

Eppure anche il caos ha le sue regole e scoprirle attraverso quella che è stata definita la “Scienza del Caos” consentirebbe di fare previsioni sempre più affidabili risalendo attraverso la catena delle cause e degli effetti fino “all'effetto farfalla”.

Nei sistemi caotici gli attrattori hanno proprietà molto particolari, e per questo sono chiamati “attrattori strani” note come figure irregolari detti frattali. La sua caratteristica principale è che ogni sua porzione può essere vista come una riproduzione su scala ridotta dell'intera figura. In pratica; la struttura dell'attrattore strano osservata ad altro ingrandimento è la replica quasi esatta dell'intero. Questa proprietà geometrica, nota come invarianza di scala è la firma del caos.

Attenzione, perché avere di fronte un frattale significa anche che per quanto io mi possa sforzare, non sarò mai in grado di prevedere completamente l'evoluzione del sistema che sto studiando.

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Sistemi

La teoria del caos è un settore della teoria matematica dei sistemi dinamici che si occupa dei cosiddetti caotici. Teoria

Un sistema dinamico si dice caotico se presenta le seguenti caratteristiche:

• Sensibilità alle condizioni iniziali', ovvero a variazioni infinitesime delle condizioni al contorno (o, genericamente, degli ingressi) corrispondono variazioni finite in uscita. Come esempio banale: il fumo di più fiammiferi accesi in condizioni macroscopicamente molto simili (pressione, temperatura, correnti d'aria) segue traiettorie di volta in volta molto differenti.
• Imprevedibilità, cioè non si può prevedere in anticipo l'andamento del sistema con precisione 'assoluta' a partire da assegnate condizioni al contorno, ovvero l'evoluzione del sistema è descritta, nello spazio delle fasi, da innumerevoli 'orbite' (traiettorie di stato) diverse tra loro.
• Orbite spazio delle fasi

Le nello ' ' restano comunque tutte confinate in un certo spazio, cioè il sistema

• Attrattori caos-

Non evolve verso l'infinito per nessuna variabile. Si parla in questo caso di ' ' o di ' deterministico '.

Ad esempio la mappa lineare: x è sensibile alle condizioni iniziali (due valori di leggermente diversi si evolvono divergendo e aumentando la loro distanza) ma il suo andamento è prevedibile e le variabili evolvono verso l'infinito, cioè dopo un numero x sufficientemente alto di passaggi diviene maggiore quanto vogliamo. Quindi non ha un comportamento n caotico.

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Mentre la mappa non lineare: x è sensibile alle condizioni iniziali, non ha andamento prevedibile e, per valori di iniziali tra 0 e 1, rimane confinata in uno spazio finito (tra 0 e 1), quindi esibisce un comportamento caotico. Questa semplice equazione viene chiamata mappa logistica, e descrive matematicamente la crescita di una popolazione nel tempo. Il fatto x che il valore di , sia limitato indica il fatto che una qualunque popolazione non può crescere indefinitamente, n dal momento che ha a disposizione una quantità di risorse necessariamente limitata.

Dal punto di vista dell'orbita del sistema nello spazio delle fasi, un sistema caotico presenta spesso una dinamica caratterizzata da un attrattore strano, ma ciò non è da considerarsi una regola assoluta. Ad esempio la seconda mappa lineare presentata sopra non è caratterizzata da un attrattore strano, in quanto nello spazio delle fasi l'orbita può non essere infinita ma ciclica (mentre un attrattore strano ha sempre orbita di infinita lunghezza).

Così pure il sistema caotico del "gatto di Arnold" ha orbite cicliche e non infinite. Una caratteristica peculiare di un sistema caotico, sebbene deterministico, è l'apparente impredicibilità delle traiettorie del sistema, dovuta alla forte sensibilità rispetto alle condizioni iniziali: un piccolo errore nella conoscenza dello stato del sistema in un certo istante può provocare un errore anche grande nelle previsioni a medio e lungo termine.

Un sistema caotico autonomo è necessariamente non lineare. Inoltre, se il tempo varia con continuità, lo spazio degli stati deve avere dimensione almeno 3; per i sistemi a tempo discreto, invece, è sufficiente un'unica variabile di stato.

Comportamenti caotici si incontrano in meteorologia (attrattore di Lorentz), climatologia, fluidodinamica (turbolenza), teoria del laser, ecologia.

Esempi di modelli matematici di sistemi dinamici

8 Esempi di modelli matematici di sistemi dinamici:

Sistemi discreti

• 1. La mappa logistica è un mappa polinomiale, spesso citata come un archetipo esempio di quanto può essere complesso, caotico il comportamento che può risultare da una semplice equazione dinamica non lineare.

La mappa fu resa popolare nel 1976 dal biologo Robert May. Matematicamente, la mappa logistica è scritta:

Dove: x n, x è un numero compreso tra zero e uno, e rappresenta la popolazione in un anno e quindi n o rappresenta la popolazione iniziale (all'anno 0)

r è un numero positivo, e rappresenta un tasso combinato tra la riproduzione e la fame.

Questa equazione non lineare descrive due effetti:

Diagramma dei raddoppiamenti di periodo della mappa logistica

La crescita di tipo esponenziale della popolazione (effetto più visibile quando la popolazione è piccola)

• La competizione intraspecifica quando la popolazione è numerosa, vale a dire la mortalità aggiuntiva
• Dovuta alla competizione degli individui tra loro per assicurarsi il cibo necessario. Questo è tradotto matematicamente dal termine quadratico con segno negativo.

Tuttavia questo modello ipotizza che:

• Le risorse per la popolazione siano illimitate, infinite
• Non ci sia competizione interspecifica, cioè non vi sia mortalità dovuta a competizione con altre specie.

Comunque, essendo un modello demografico, la mappa logistica ha il problema che in qualche caso di condizioni iniziali e valori dei parametri porta ad un valore negativo della popolazione. Questo problema non compare nel vecchio modello di Ricker. 9

Caos e la mappa logistica

La relativa semplicità della mappa logistica fornisce un eccellente punto di entrata nella considerazione del concetto del caos. La ruvida descrizione del caos e questi sistemi caotici esibiscono una grande sensibilità alle condizioni iniziali -- una proprietà della mappa logistica per la maggior parte dei valori di r tra 3.57 e 4 (come notato sopra). Diagramma in due e tre dimensioni della mappa logistica.

La figura seguente illustra l'allungamento e il piegamento verso l'alto della sequenza delle iterazioni della mappa. La figura (a), sinistra, da una versione in 2d del diagramma della mappa logistica per r=4, e chiaramente mostra la curva quadratica della equazione differente. Comunque, si può fissare la stessa situazione nella versione 3d del diagramma, in modo da investigare più profondamente la struttura della mappa. La figura (b), destra, dimostra ciò, mostra come inizialmente vicino ai punto inizino a divergere, particolarmente in quelle regioni di X corrispondenti alla sezione più ripida del tracciato.

t

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2. Attrattore di Hénon

Michel Hénon, astronomo all'Osservatorio di Nizza, costruì uno degli attrattori strani più interessanti. Egli osservò infatti che per determinati valori di energia, le intersezioni tra le orbite degli oggetti celesti ed un piano immaginario davano luogo ad una forma geometrica abbastanza regolare, mentre per energie più elevate, tali orbite erano caotiche. Studiò allora un modello geometrico che fosse dato da semplici trasformazioni topologiche come stiramenti e contrazioni.

«Hénon disegnò un ovale piano su un foglio di carta. Per stirarlo, prese una breve funzione numerica che spostasse ogni punto dell'ovale in un nuovo punto appartenente ad una forma stirata verso l'alto al centro: un arco. [...] Poi Hénon scelse una seconda rappresentazione, questa volta una contrazione che comprimesse l'arco verso l'interno per renderlo più stretto. E poi una terza mappa che ruotasse l'arco così reso più stretto sul fianco, in modo da allinearlo con precisione con l'ovale originario. Le tre rappresentazioni potevano essere combinate

J. Gleick)

in una singola funzione ai fini del calcolo »(Caos di

La coppia di formule che trovò, fu la seguente:

La figura risultante assomigliava ad una specie di banana costituita da più linee. La caratteristica più sorprendente tuttavia era rappresentata dal fatto che quelle linee che apparivano uniche, se ingrandite, erano in realtà costituite da due linee distinte, che a loro volta, ad ingrandimenti maggiori, diventavano quattro, otto,...

Anche in questo caso dunque, come con l'attrattore di Lorenz, infinite linee distinte l'una dall'altra giacciono in uno spazio ben confinato. Mentre però con quello di Lorenz venivano utilizzate equazioni differenziali, dunque con differenze continue, le equazioni dell'attrattore di Hènon hanno differenze finite, variazioni discrete nel tempo. Attrattore di Hènon 11

3. Mappa di Poincaré

In matematica, e più precisamente nell'ambito dei sistemi dinamici, una mappa di primo ritorno o mappa di Poincaré, così chiamata in onore di Henri Poincaré, è l'intersezione di un'orbita periodica nello spazio delle fasi di un sistema dinamico continuo con un particolare sottospazio di minor dimensione, chiamato sezione di Poincaré, trasverso al flusso del sistema. Più precisamente si considera un'orbita periodica con origine sulla sezione di Poincaré e si osserva il punto nel quale l'orbita reinterseca per la prima volta la sezione, da cui il nome di mappa di primo ritorno. La trasversità della sezione di Poincaré significa che le orbite periodiche che si originano nel sottospazio lo attraversano invece di scorrere parallele a questo.

Definizione

Sia (R, φ) un sistema dinamico globale, con R insieme dei numeri reali, lo spazio delle fasi e φ la funzione di evoluzione. sia γ un'orbita periodica attraverso un punto ed la sezione localmente differenziabile e trasversale di φ attraverso chiamata sezione di Poincaré attraverso

U p

Dato un intorno aperto e connesso di, una funzione S p è chiamata mappa di Poincaré per l'orbita γ sulla sezione di Poincaré attraverso il punto se

• P(p) = p
• P(u) p P(U) è un intorno di e è un diffeomorfismo
• x U, x S P(x) per ogni punto in la semiorbita positiva di interseca per la prima volta in
• S, P x P(x).

Nella sezione di Poincaré la mappa di Poincaré proietta il punto nel punto

Mappe di Poincaré ed analisi di stabilità

Le mappe di Poincaré possono essere interpretate come un sistema dinamico discreto. La teoria di stabilità di un'orbita periodica del sistema originale è strettamente legata alla stabilità del punto fisso della corrispondente mappa di Poincaré. p

L'orbita periodica γ del sistema dinamico continuo è stabile se e solo se il punto fisso del sistema dinamico discreto è stabile. p

L'orbita periodica γ del sistema dinamico continuo è asintodicamente stabile se e solo se il punto fisso del sistema dinamico discreto è asintodicamente stabile.

Sistemi continui

12 Sistemi continui

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Attrattore di Lorenz

L'attrattore di Lorenz fu il primo esempio di un sistema di equazioni differenziali a bassa dimensionalità in grado di generare un comportamento complesso. Venne scoperto da Edward N. Lorenz, del Massachusetts Institute of Technology, nel 1963.

Semplificando le equazioni del moto alle derivate parziali che descrivono il movimento termico di convezione di un fluido, Lorenz ottenne un sistema di tre equazioni differenziali del primo ordine

Sebbene le equazioni, a causa del forte troncamento, descrivano bene il fenomeno di convezione solo per, esse vengono utilizzate come modello a bassa dimensione per un comportamento caotico, portando il parametro r dell'equazione completamente fuori dall'appropriato regime fisico. strani attrattori

Oggetti geometrici di questo tipo, rappresentativi del moto di un sistema caotico, vengono detti attrattori strani.

o Attrattore di Lorenz 13

Effetto farfalla

«Si dice che il minimo battito d’ali di una farfalla sia in grado di provocare un uragano dall’altra parte del mondo»

(The Butterfly Effect, 2004) dipendenza sensibile

Effetto farfalla è una locuzione che racchiude in sé la nozione maggiormente tecnica di dipendenza sensibile alle condizioni iniziali, presente nella teoria del caos. L'idea è che piccole variazioni nelle condizioni iniziali producano grandi variazioni nel comportamento a lungo termine di un sistema.

Origini e sviluppo della teoria

L'espressione "Effetto farfalla" si ritiene in genere sia stata ispirata da uno dei più celebri racconti fantascientifici

Rumore di tuono (A Sound of Thunder, R is for Rocket)

di Ray Bradbury: in del 1952, in cui si immagina che nel futuro, grazie ad una macchina del tempo, vengano organizzati dei safari temporali per turisti.