Tesi Gabriele Pisacane: Quantum clocks

Università degli Studi di Salerno

Dipartimento di Fisica E.R. Caianiello

Corso di Laurea in Fisica

Quantum clocks: orologi quantistici relativistici e fenomeni di dilatazione dei tempi

Candidato e relatore

Candidato: Antonio Capolupo Mat. 0512600603

Relatore: Ch.mo Prof. Gabriele Pisacane

Anno accademico 2019/2020

Dedica

Dedicata a coloro che ci provano ogni giorno e non si arrendono mai.

Indice

• 1 Introduzione 3
• 2 POVM e formalismo di Page-Wootters 6
• 3 Implementazione del formalismo di Page-Wootters 9
• 3.1 Teoria classica delle particelle relativistiche libere . . . . . . . . . . . . . 9
• 3.2 Quantizzazione canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
• 3.3 Stati condizionati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
• 4 Osservabile tempo proprio e dilatazione dei tempi 16
• 4.1 Osservabile tempo proprio e orologi (clocks) . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
• 4.2 Probabilità condizionata di misura del tempo proprio . . . . . . . . . . . 18
• 4.3 Dilatazione dei tempi classica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
• 4.4 Dilatazione dei tempi quantistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
• 5 Dilatazione dei tempi quantistica in esperimenti 28
• 6 Conclusioni e discussione 29
• 7 Appendici 31
• 7.1 Appendice I: relazione d’indeterminazione energia-tempo . . . . . . . . . . 31
• 7.2 Appendice II: teorema di Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Abstract

Il presente lavoro di tesi studia come, all’intersezione tra meccanica quantistica e teoria della relatività, si trova la possibilità che un orologio quantistico sperimenti una sovrapposizione di tempi propri. Considereremo come orologi quantistici i gradi di libertà interni di particelle relativistiche che si muovono attraverso lo spaziotempo curvo. Si ricava la probabilità che un orologio legga un dato tempo proprio condizionato da un altro orologio che legge un diverso tempo proprio. Da questa distribuzione di probabilità condizionata si mostra che, quando i gradi di libertà esterni di questi orologi si muovono in pacchetti d’onda di quantità di moto localizzati, essi osservano la classica dilatazione dei tempi. Mostreremo quindi una correzione quantistica alla dilatazione dei tempi osservata da un orologio che si muove in una sovrapposizione di pacchetti d’onda di quantità di moto localizzata che ha il potenziale per essere osservata attraverso esperimenti.

+1, +1, +1). ℏ = =1 g diag(−1,

In tutto il lavoro di tesi e

Capitolo 1

Introduzione

La conoscenza scientifica del mondo fisico ha registrato, nel XX secolo, una rapida crescita, alla cui radice si situano due grandi rivoluzioni concettuali che hanno rifondato la fisica teorica durante i primi anni del Novecento, modificando in profondità la nostra comprensione del mondo: la meccanica quantistica e la teoria della relatività generale di Albert Einstein. La prima ha sostituito la meccanica classica e ha modificato in maniera radicale la nostra comprensione della materia e dell’energia. La seconda ha sostituito la teoria della gravità di Isaac Newton e ha modificato in maniera altrettanto radicale la nostra comprensione della natura dello spazio e del tempo. Queste due teorie sono oggi ampiamente confermate dall’esperienza. La prima è alla base di un accrescimento della conoscenza che comprende la fisica atomica, nucleare, delle particelle, dello stato solido e della biologia molecolare; la seconda è il fondamento di tutti gli studi che coinvolgono fenomeni gravitazionali (dall’astrofisica relativistica, alla cosmologia, alla ricerca delle onde gravitazionali) ed è quindi alla base dei grandi e recenti progressi nella nostra conoscenza del Cosmo. Questa rapida crescita del sapere, d’altra parte, ha fatto cadere il quadro concettuale della vecchia fisica newtoniana, senza però sostituirlo con uno nuovo coerente. Meccanica quantistica e relatività generale sono teorie incomplete e a prima vista incompatibili: ciascuna delle due è usualmente formulata sulla base di assunzioni contraddette esplicitamente dall’altra. Quindi, se è innegabile la crescita della conoscenza 3 verificatasi durante il XX secolo, ciò ha anche lasciato in eredità una grande confusione concettuale sulla natura del mondo fisico, e un ancora più grande problema scientifico da risolvere: la ricerca di una sintesi capace di offrire una visione coerente del mondo, compatibile con il sapere raggiunto, all’interno della quale la meccanica quantistica e la relatività generale possano essere comprese in modo non contraddittorio.

Tra le contraddizioni fra le due teorie spicca il diverso ruolo che gioca il tempo: nella meccanica quantistica esso è un parametro esterno, mentre nella teoria della relatività generale esso è una “dimensione”, che insieme alle dimensioni spaziali, definisce lo spaziotempo. L’ipotetica teoria capace di combinare i passi avanti concettuali rappresentati da meccanica quantistica e relatività generale e, in particolare, di descrivere gli aspetti quantistici dei fenomeni gravitazionali (la cosiddetta teoria della gravità quantistica), dovrà porre rimedio a questa asimmetria tra le due visioni del tempo.

Un possibile approccio per “simmetrizzare” le due teorie può essere quello di trattare il tempo, in meccanica quantistica, come un osservabile, alla pari della posizione; così, nei rispettivi campi, le due teorie trattano spazio e tempo nel medesimo modo.

Ciò che permise ad Einstein di trascendere il concetto Newtoniano di tempo fu il suo insistere sul fatto che il tempo fosse ciò che viene mostrato da un orologio (processo periodico ideale). Estendendo tale visione “operativa” alla meccanica quantistica, si è portati a definire il tempo attraverso misurazioni di sistemi quantistici che fungono da orologi. Considerando l’orologio come un sistema quantistico, esso sarà soggetto al principio di sovrapposizione, che nel contesto relativistico porta a supporre che un sistema quantistico che fa da orologio può esibire una sovrapposizione di tempi propri, una situazione già investigata nel contesto della relativistic clock interferometry, in cui due rami di un interferometro atomico sperimentano tempi propri diversi a causa della dilatazione temporale predetta dalla relatività generale o ristretta. Introduciamo un osservabile tempo proprio T definito come un POVM covariante che agisce sui gradi di libertà interni, che fanno da orologio, di una particella relativistica che si muove attraverso lo spaziotempo curvo. 4 Il definirlo come un POVM ci permette di “scavalcare” il Teorema di Pauli, che impone che il tempo sia trattato come un parametro esterno e non come un operatore hermitiano.

A B,

Questo ci consente di considerare due orologi quantistici relativistici, e e stimare la

A B

probabilità che legga un particolare tempo proprio condizionato dal fatto che legga un diverso tempo proprio. Consideriamo quindi due orologi preparati in pacchetti d’onda di quantità di moto localizzati e dimostriamo che osservano in media la dilatazione del tempo classica secondo la relatività speciale. Illustriamo quindi un effetto di dilatazione temporale quantistica che si verifica quando un orologio si muove in una sovrapposizione di due pacchetti d’onda di quantità di moto localizzati: in media, il tempo proprio di un orologio che si muove in una sovrapposizione coerente di momenti è distinto da quello della corrispondente miscela classica. 5

Capitolo 2

POVM e formalismo di Page-Wootters

T,

Introdotto un ipotetico osservabile tempo che risultati può dare una misura? E in laboratorio, su cosa effettuiamo le nostre misure?

La risposta alla prima domanda è che i risultati di una misura di un ipotetico osservabile

T

tempo devono corrispondere a “quando” è avvenuta la misura, e noi li conosciamo in quanto, tramite ad esempio un orologio fermo nel nostro sistema di riferimento, sappiamo in che momento abbiamo effettuato la misurazione. I risultati di una misura, indicandoli

⊆t,

con saranno contenuti in un insieme Per valutare la probabilità associata ad ogni

R.t,

introduciamo il concetto di POVM (Positive Operator Valued Measure): consideriamo

AB, A B,

un sistema isolato, costituito da due sottosistemi, e a cui sono associati rispet-

H H

tivamente gli spasi di Hilbert e ; lo spazio di Hilbert associato al sistema sarà

A B

H H H⊗= A B,.

Supponiamo di conoscere gli stati del sistema e rispettivamente

AB A B A⊗=AB

e ; lo stato del sistema composto sarà dunque dato da ( è l’operatore

B AB A BAB

densità). Focalizziamo la nostra attenzione non su tutto il sistema ma su una porzione

A.

di esso, sia essa 6

E

Sia un’osservabile del sistema rappresentata dall’operatore hermitiano

H H→: (2.1) AB AB

{a}

e sia l’insieme dei suoi autovalori.

a H

D POVM: Aun POVM su un sistema con spazio di Hilbert è un

EFINIZIONE DI A

H

{F }

insieme di operatori su tali che:

• a Aa, F per ogni è hermitiano;
• aa, F per ogni è un operatore semidefinito positivo;
• a Í =IF risolvono l’identità, nel senso che aa

L’importanza dei POVM sta nel fatto che la probabilità che una misura di un osservabile definita tramite POVM dia come risultato a cui associamo l’operatore , è

a, F

a=Prob(a) trF .a

Possiamo, tramite questa definizione, riformulare il terzo assioma della meccanica quantistica che recita:

H | i,E

“Data un osservabile di un sistema con spazio di Hilbert nello stato

E

i valori ottenibili attraverso una misura di sono tutti e soli gli autovalori

{a} h i,

|E |=E, Prob(a)

dell’operatore ciascuno ottenibile con probabilità

aa |ai ha|, |ai=E a.”

dove e autostato corrispondente all’autovalore

a

in

H

“La misura di una osservabile di un sistema con spazio di Hilbert dalla

{a}

cui misura si possono ottenere solamente i valori è rappresentata da una

H

{F } a,

POVM su ; la probabilità di ottenere l’esito detto l’operatore

a a =Prob(a) trF

di densità che rappresenta lo stato del sistema, è .”

a

7 H

Figura 2.1: | ii rappresentazione pittorica dello stato globale . Lo spazio di Hilbert del sistema, ,

S

x y,

è rappresentato dagli assi e mentre lo spazio di Hilbert associato al grado quantico di libertà interno,

H | ( )i t, dall’asse orizzontale. Lo stato del sistema al tempo della formulazione convenzionale della

0

T 0

| ii t

meccanica quantistica si ottiene condizionando ad avere il tempo .

0

Esistono invece diverse risposte alla seconda domanda, ma noi ci soffermeremo su quella data da Don N. Page e William K. Wootters. Nel 1983, Don N. Page e William K. Wootters pubblicarono un articolo dal titolo “Evolution without evolution: Dynamics de- in cui fecero l’ipotesi che il tempo potesse essere scribed by stationary observables”, considerato come un grado di libertà quantico interno al sistema, a cui dovesse essere

H

associato lo spazio di Hilbert . Lo “scorrere” del tempo consiste allora nella corre-

T

lazione (entanglement) tra questo grado quantico di libertà interno e il resto del sistema,

ii.

una correlazione presente in uno stato globale, indipendente dal tempo,| Un osser-

vatore interno al sistema vedrà tale stato come una descrizione della normale evoluzione

| ()i t

temporale: lo stato del sistema descritto dal familiare vettore di stato al tempo lo

| ii t

si riottiene condizionando (tramite proiezione) lo stato ad un tempo (Figura 2.1).

H H H H| ii ⊗=

Lo stato è contenuto nello spazio di Hilbert , definito come , dove

H H

S,

è lo spazio di Hilbert associato al sistema in esame mentre è lo spazio di Hilbert

S T

S.

associato al “clock”, ossia al grado di libertà interno del sistema Per cui, conoscendo lo

∈ G),

stato del clock, conoscendo i possibili esisti di una misura (t ci basta introdurre l’os-

T

servabile tempo come un POVM per calcolare la probabilità relativa ad ogni possibile

t.

risultato 8

Capitolo 3

Implementazione del formalismo di Page-Wootters

3.1 Teoria classica delle particelle relativistiche libere

N

Implementiamo il formalismo di Page-Wootters ad un sistema di particelle relativistiche dotate ognuna di gradi di libertà interni, che si muovono in uno spaziotempo curvo descritto dalla metrica (Figura 3.1). Per farlo cominciamo ricavando l’Hamiltoniana del sistema, con la condizione che tutte le variabili siano trattate allo stesso modo. Siano

(n =q P 1, N)

e rispettivamente le coordinate generalizzate e i momenti coniugati

...,

n q

n n-esima

associati ai gradi di libertà interni della particella.

9

0 0

n i i

n Figura 3.1: x P x P n-esima i gradi di libertà temporali ed esterni della particella. Questa, ,

n n

q P

particella ha un grado di libertà interno che è usato per costruire un orologio che misura,

n q

n

n-esima

il tempo proprio della particella.

∫Í )(=S S d L dove

L’azione che descrive questo sistema è

n

n n

qn2 ( ) − + −P (3.1)

B q

n n-esima m

è la Lagrangiana associata alla particella, e denotano rispettivamente il

n n

clock clock ≡H H q P

tempo proprio e la massa a riposo della particella, e è l’Hamilto-

,

n q

n n

niana che governa l’evoluzione, rispetto a , dei gradi di libertà interni. Useremo questi

n

gradi di libertà interni come un orologio tramite la quale misurare il tempo proprio della

n-esima particella.

x n-esima

Denotiamo con la posizione nello s