Modellistica e controllo di un esacottero in volo stazionario

Modellistica e controllo di un esacottero in volo stazionario

Dipartimento di Ingegneria dell’Energia Elettrica e dell’Informazione “Guglielmo Marconi” - DEI

Corso di Laurea in Ingegneria dell’Automazione

Modellistica e controllo di un esacottero in volo stazionario

Tesi di Laurea in Controlli Automatici T-1

Relatore: Presentata da:

Prof. Roberto Diversi Alessio De Fabritiis

Sessione ottobre 2025

Anno Accademico 2025/2026

Al Prof. Roberto Diversi per avermi dato l’opportunità di approfondire questo tema a me caro.

Alla mia famiglia, agli amici e a tutti quelli che hanno incrociato la loro vita con la mia per avermi sostenuto in questi anni di studio.

Abstract

Il presente lavoro di tesi si concentra sulla modellistica e sul controllo di un esacottero in condizioni di volo stazionario. Partendo dalla formulazione di un modello matematico non lineare del sistema, lo studio procede con la sua linearizzazione nell’intorno di un punto di equilibrio rappresentativo della condizione di hovering.

Successivamente vengono sviluppati controllori per la quota e per gli angoli di rollio, beccheggio e imbardata, impiegando una strategia basata su reti anticipatrici. Vengono infine condotti due test per verificare la validità dei controllori progettati.

Indice

1 Introduzione 1

1.1 Cenni storici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Configurazioni e meccanismo di volo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Motivazioni e obiettivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Modello matematico del drone 9

2.1 Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Sistemi di riferimento e angoli di Tait-Bryan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Cinematica traslazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4 Cinematica rotazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.5 Motori Brushless DC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.6 Dinamica traslazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.7 Dinamica rotazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.8 Modello non lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.9 Modello lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.9.1 Linearizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.9.2 Raggiungibilità e osservabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3 Sintesi del controllore 33

3.1 Tecniche di sintesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.1.1 Il luogo delle radici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.1.2 Il controllore PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.1.3 Le reti correttrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2 Specifiche progettuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

vi

3.3 Controllo di quota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.4 Controllo di rollio e beccheggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.5 Controllo di imbardata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.6 Implementazione del sistema non lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4 Risultati 53

4.1 Controllo di quota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.2 Stabilizzazione angoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5 Conclusioni 57

Appendice 59

Bibliografia 60

vii

Elenco delle figure

1.1 Tipologie di velivoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Il quadricottero The Flying Octopus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Esacottero provvisto di Lifeseeker utilizzato dal Corpo Nazionale dei Vigili del Fuoco per le operazioni di ricerca di persone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Configurazioni I6 e X6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5 Posizione di Hovering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.6 Spostamento verticale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.7 Spostamento longitudinale in avanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.8 Spostamento trasversale verso il lato destro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.9 Rotazione in senso antiorario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1 Sistemi di riferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Angoli di Tait-Bryan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 Motore BLDC A2212 con 2200 kv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4 Diagramma delle forze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5 Vista dall’alto dell’esacottero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.1 PID in configurazione classica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2 PID con derivazione dell’uscita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3 Zero e polo di una rete anticipatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4 Caratteristiche significative di una rete anticipatrice . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.5 Polo e zero di una rete ritardatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.6 Schema a blocchi per il controllo di quota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

(s)

3.7 Diagramma di Bode di . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Gz

3.8 Diagramma “livello di amplificazione” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.9 Diagramma “entità dello sfasamento positivo” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

viii

(s)

3.10 Diagramma di Bode di . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Lz (s)

3.11 Risposta al gradino del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Fz (s)

3.12 Risposta al gradino del sistema con prefiltro . . . . . . . . . . . . . . . 43

Fz

3.13 Schema a blocchi per il controllo di beccheggio . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

(s)

3.14 Diagramma di Bode di . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

G θ(s)

3.15 Diagramma di Bode di . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Lθ (s)

3.16 Risposta al gradino del sistema con prefiltro . . . . . . . . . . . . . . . 46

Fθ

3.17 Schema a blocchi per il controllo di imbardata . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

(s)

3.18 Diagramma di Bode di . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

G ψ (s)

3.19 Risposta al gradino del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Fψ

3.20 Schema a blocchi del sistema non lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.21 Modello non lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.22 Dinamica rotazionale non lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.23 Dinamica traslazionale non lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.24 Cinematica rotazionale non lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.1 Risposta al gradino della quota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.2 Andamento dell’angolo di rollio in condizioni di hovering . . . . . . . . . . . 53

4.3 Andamento dell’angolo di beccheggio in condizioni di hovering . . . . . . . . 54

4.4 Andamento dell’angolo di imbardata in condizioni di hovering . . . . . . . . . 54

4.5 Andamento di con condizione iniziale non nulla . . . . . . . . . . . . . . . . 55

φ

4.6 Andamento di con condizione iniziale non nulla . . . . . . . . . . . . . . . . 55

θ

4.7 Andamento di con condizione iniziale non nulla . . . . . . . . . . . . . . 55

ψ ix

x

Capitolo 1

Introduzione

Il drone è un velivolo caratterizzato dall’assenza di un pilota umano a bordo. Appartiene alla famiglia degli UAV (Unmanned Aerial Vehicle) o, in italiano, APR (Aeromobile a Pilotaggio Remoto), ovvero velivoli capaci di svolgere compiti specifici in maniera del tutto autonoma e senza necessità di intervento umano. Il volo è gestito dal computer a bordo del velivolo, sotto il controllo remoto di un navigatore o di un operatore a terra. In generale, i velivoli possono essere suddivisi in base al peso (più leggeri o più pesanti dell’aria), al tipo di propulsore (motorizzato o meno) e al processo di decollo (verticale o orizzontale), vedi Figura 1.1.

Figura 1.1: Tipologie di velivoli

Tra le categorie sopra citate, l’esacottero è un velivolo più pesante dell’aria, motorizzato e VTOL.

1 Vertical Take-Off and Landing 1

Cenni storici

I droni nascono e si sviluppano grazie agli ingenti investimenti in ambito militare. Solo negli ultimi anni queste tecnologie hanno iniziato a trovare applicazione in contesti civili. Sembra che il primo uso documentato di un velivolo da guerra senza equipaggio risalga al 1849, quando gli austriaci attaccano Venezia con palloni senza pilota carichi di esplosivo. Nel 1907, l’aviatore francese Louis Charles Breguet, comincia a ideare Gyroplane, un velivolo instabile che purtroppo non riesce a sollevarsi da terra per più di 60 cm. Nonostante ciò, esso viene considerato il primo prototipo di quadricottero. Nel 1917, la Royal Air Force, aeronautica militare del Regno Unito, introduce nelle zone di guerra l’Aerial Target (AT), un piccolo aereo radiocomandato dotato di una radio, di batterie e di esplosivi. Nel 1920, viene costruito il primo quadricottero su commissione dell’esercito statunitense, dotato di quattro motori con eliche a sei pale e soprannominato The Flying Octopus, ovvero la piovra volante (Figura 1.2).

Figura 1.2: Il quadricottero The Flying Octopus

Negli anni delle Grandi Guerre tali velivoli appaiono molto differenti dalle configurazioni odierne: sono grandi, molto instabili e destinati esclusivamente alla guerra. Solo verso la fine del secolo scorso si notano dei netti miglioramenti di queste tecnologie. Questi iniziano a diventare più sofisticati ed efficienti. Nel 1993, la NASA lancia il programma ERAST per sviluppare tecnologie in grado di avviare un potenziale mercato per gli UAV, mercato che oggi è in continua crescita, sia in campo civile che militare. Riconoscendo il potenziale delle applicazioni dei droni in molti settori, la FAA nel 2006 rilascia i primi permessi per i droni commerciali. I droni multirotore, che si trovano in commercio oggi, sono, nella maggioranza dei casi, quadricotteri o esacotteri [1].

2 National Aeronautics and Space Administration

3 Environmental Research Aircraft and Sensor Technology

4 Federal Aviation Administration 2

Applicazioni

La progettazione di droni ad ala rotante con più di quattro rotori è in continuo sviluppo. Ponendo l’attenzione sugli esacotteri, questi presentano numerosi vantaggi quali la possibilità di aumentare il carico utile totale, di gestire uno o più guasti ai motori, di operare a basse velocità, di consentire una facile manutenzione, una buona stabilità di volo e costi di produzione contenuti. Tra gli svantaggi occorre evidenziare che gli esacotteri consumano più energia, e hanno dimensioni e peso maggiori, rispetto ad un quadricottero [2, 3]. Tali velivoli sono oggi utilizzati in operazioni di ricerca e soccorso, monitoraggio, fotografia aerea, ispezioni infrastrutturali, sorveglianza, trasporto di oggetti, agricoltura. I Vigili del Fuoco, ad esempio, hanno adottato nuove tecnologie per migliorare le operazioni di ricerca di persone disperse. I droni che utilizzano, sono dotati di sistemi sofisticati e all’avanguardia come termocamere, per la ricerca di persone in piena oscurità, ed un sistema, chiamato Lifeseeker, in grado di localizzare con precisione la posizione di un telefono cellulare. Tale sistema di ultima generazione, rilasciato nel 2022, interagisce col telefono della persona dispersa attraverso una cella telefonica installata sul drone (Figura 1.3).

Figura 1.3: Esacottero provvisto di Lifeseeker utilizzato dal Corpo Nazionale dei Vigili del Fuoco per le operazioni di ricerca di persone

Configurazioni e meccanismo di volo

Le configurazioni più comuni dell’esacottero sono due: I6 o X6, vedi Figura 1.4. Entrambe presentano sei rotori situati ai vertici di un esagono ed equidistanti dal baricentro. Tra le due configurazioni, in questa trattazione, si considera la seconda, poiché tale disposizione garantisce una distribuzione più simmetrica delle forze aerodinamiche, favorendo così la stabilità [4].

Figura 1.4: Configurazioni I6 e X6

L’esacottero è un sistema fisico dotato di 6 gradi di libertà (3 g.d.l di traslazione e 3 g.d.l di rotazione). Esso monta 6 rotori in modo tale che tre ruotano in senso orario e gli altri tre in senso antiorario. Se tutti i rotori girano alla stessa velocità, i momenti torcenti generati dalle eliche risultano bilanciati. Ciascun rotore è composto da un motore brushless DC e da un’elica a passo fisso. Agendo sul valore dei momenti torcenti, ovvero modificando (aumentando o diminuendo) le velocità angolari delle eliche è possibile effettuare qualunque spostamento o rotazione nello spazio e mantenere la posizione di hovering (condizione di volo stazionario). Più nel dettaglio, i possibili movimenti per un esacottero con configurazione a “X” sono:

• Posizione di hovering: per mantenere tale posizione occorre che la somma vettoriale dei momenti torcenti sia pari a zero e che, in volo, la spinta totale generata dai rotori sia uguale al peso dell’esacottero. Ciò si verifica solo quando i sei rotori girano alla stessa velocità angolare e questa rimane costante.

Figura 1.5: Posizione di Hovering

• Spostamento verticale: per aumentare (o diminuire) l’altitudine del drone, ad esempio in fase di decollo, è necessario incrementare (o diminuire) la velocità di rotazione di tutti i rotori della stessa quantità.

Figura 1.6: Spostamento verticale

• Spostamento longitudinale: tale spostamento rappresenta il movimento frontale. Ad esempio, per ottenere una traslazione in avanti occorre aumentare la spinta dei rotori 3 e 4 e diminuire quella dei rotori 1 e 6, andando in questo modo a creare una differenza di spinta tra la parte anteriore e posteriore del drone con la conseguente inclinazione in avanti dello stesso. Viceversa, per ottenere una traslazione all’indietro occorre diminuire la spinta dei rotori 3 e 4 e aumentare quella dei rotori 1 e 6.

Figura 1.7: Spostamento longitudinale in avanti

• Spostamento trasversale: tale spostamento rappresenta il movimento laterale. Ad esempio, per ottenere una traslazione verso destra si aumenta la velocità dei rotori 4, 5 e 6 posti sulla parte sinistra e si diminuisce la velocità dei rotori 1, 2 e 3 posti sulla parte destra. Si genera, quindi, un’inclinazione verso destra con la conseguente traslazione. Viceversa, per ottenere una traslazione verso sinistra si diminuisce la velocità dei rotori 4, 5 e 6 posti sulla parte sinistra e si aumenta la velocità dei rotori 1, 2 e 3 posti sulla parte destra.

Figura 1.8: Spostamento trasversale verso il lato destro

• Rotazione attorno all’asse verticale: al fine di ottenere tale rotazione occorre prima di tutto garantire la posizione di hovering e solo successivamente aumentare la velocità delle eliche che ruotano in un senso e diminuire quella delle eliche che ruotano nel senso opposto. Sfruttando la Terza legge della dinamica di Newton, si ha che il momento torcente che si origina a seguito della rotazione delle eliche in un dato verso genera a sua volta un momento torcente uguale in modulo ma con verso opposto. Ne segue che, ad esempio, per ruotare in senso antiorario, bisogna diminuire la velocità di rotazione dei rotori che girano in senso antiorario (rotori 1, 3 e 5) e aumentare quella dei rotori che si muovono in senso orario (rotori 2, 4 e 6). Invertendo le variazioni di velocità sopra riportate è possibile ruotare in senso orario [5].

Figura 1.9: Rotazione in senso antiorario

Motivazioni e obiettivi

Visto il largo utilizzo degli esacotteri, i vantaggi che presentano, le innumerevoli applicazioni e le interessanti sfide per il controllo di questi, l’obiettivo di questa tesi è quello di approfondire il loro mondo per quanto riguarda il controllo in volo stazionario. Verrà prima realizzato un modello matematico che descrive la cinematica e la dinamica del drone, per poi linearizzarlo intorno ad una posizione di equilibrio stabile. Il modello matematico seguirà criteri di utilità e non di verità e verrà determinato nello spazio degli stati. In seguito verrà effettuata la sintesi di un regolatore tramite reti correttrici per il controllo del volo stazionario (hovering) e dell’assetto (orientamento angolare), ed infine verrà simulato il comportamento desiderato tramite MatLab e Simulink. 7

8

Capitolo 2

Modello matematico del drone

2.1 Generalità

In questo capitolo verrà affrontata la modellistica fisica dell’esacottero. Saranno analizzate la cinematica e la dinamica, sia traslazionale che rotazionale, al fine di ricavare le 12 equazioni differenziali che descrivono il sistema. Il modello sviluppato in questa tesi assume le seguenti:

• Il sistema è rigido
• Il sistema è simmetrico
• Le velocità dei fluidi adiacenti al drone, come il vento, è trascurabile
• Le eliche sono considerate rigide

Dato che il sistema è rigido, le equazioni differenziali possono essere derivate tramite il formalismo di Newton-Eulero o Eulero-Lagrange. In questa trattazione verrà seguito il primo approccio.

Sistemi di riferimento e angoli di Tait-Bryan

Per descrivere il moto dell’esacottero sono necessari due sistemi di riferimento (Figura 2.1):

Sistema di riferimento assi terrestri (o Earth Fixed Frame).

• Sotto l’ipotesi di Terra piatta e non rotante può essere approssimat