Esercizi Modellistica

Produzione sfere di metallo

11 Gennaio 2007 - Campione n=15

Misurato un diametro di 11.1 mm e varianza ũ₂ = 0.09 mm². Assumendo la distribuzione del diametro Gaussiana, si decide con un rischio del 5% se il valor medio del diametro è pari a 11 mm o 11.2 mm.

Distribuzione e statistica test

X: diametro sfere ∼ N(µ₂, σ²)

Sia µ_x1 la statistica test con E[µ_x1] = µ₂, &quad; ũ² µ_x1 = σ²_µx1 = ^ũ₂⁄_n quindi ũ_2µx1 = ^0.09⁄₁₅ = 0.006

Intervallo di confidenza

L'intervallo di confidenza per µ_x1 del 95%: è E[µ_x1] = µ₂ ± t_14;0.005 · ũ_2µx1 con t_14;0.005 = 2.145

[1.094, 1.12]

Con un rischio del 5% non posso dunque dare una conclusione perché sia l'uno che l'altro si trovano in I. Affinché si possa giungere ad una conclusione ovvero restringere l'intervallo diminuendo la numerosità del campione e diminuendo ũ₂.

Confidenza del 99.5%

Desideri una procedura che verifichi che il quantitativo medio di sostanze inquinanti di una fabbrica sia 0.8 con al più uno scarto del 10%.

Quantità Sostanze Inquinanti

Svolgiamo un test Gaussiano sui dati dai quali otteniamo che la distribuzione è Gaussiana appross. con un valor medio di 0.8 quindi X ∼ N(µ₂, &hundredal; ₂)

Test statistico

Prelevando un campione: n=14 riempiendo i valori “independent” non strettamente superiore e per cui è

Svolgiamo 2 test con il livello di significatività E=1-0.5/2=99/50=0.05

Test 1: Significatività

• H₀: E[µ_x1]<0.8
• H₁: E[µ_x1≥0.8

Rifiutiamo H₀ se <0.8: trovare nel set certo μ û^_2⁄ &sjendl;²

Errore nel primo tipo

Calcoliamo e.t_c: E[0.7 = P( x &sub2;E|H_O | = x |E_µx1|>e₂ ) ) P [µ_x1≤&E[0.7=x1=H₀) = P(H_x1

Errore nel primo tipo il caso che supposeché ecumulo

11 Gennaio 2007 - Produzione sfere di metallo

Campione n=15 Misurato un diametro di 11.1 mm e varianza s²=0.09 mm²

Assumendo la distribuzione del diametro Gaussiana, si decide con un rischio del 5% se il valor medio del diametro è pari 9 llmm o 12 mm

Statistica test e distribuzione

X: DIAMETRO SFERE ∼ N(μ_X1, s²)

Sia μ_X1 LA STATISTICA TEST con E[μ_X1] = μ_{XsμX1² = s²X = s²/n quindi XμX1~ N.}

Intervallo di confidenza

L'intervallo di confidenza per μ_X del 95% - 1- ε/2 sono:

E[μ_X1] - tμ1-ε/2 s_X/√n E[μ_X1] + tμ1-ε/2 s_X/√n Con t_14,0.025 = 2.145

[-0.93, 1.12]

Con un rischio del 5% non posso dunque dia una conclusione perché sia che 0.12 non calcolato in T μX1

Afferari si possa giungere ad una conclusione dovremmo restringere l'intervallo aumentando la numerosità del campione e diminuendo s² X

Confidenza del 99.5%

Ottelverre una procedura che verifichi che il quantitativo medio di sostanza inquinante di una fabbrica sia 0.8 con al più uno scarto del 10%

Quantità sostanza inquinante

Svolgiamo il 2a gaussiana, poi dai dati otteniamo che la distribuzione è A consulia appross u:10 Annato per tempi X n

Test statistico e significatività

Svolgiamo 2 test con il livello di significatività ε/2 = 99.5/2, 0.5/2, 0.005

Test 1: Ipotesi

• H₀: E[μ_X1] = 0.8
• H₁: E[μ_X1] ≥ 0.8

Sotto H₀ di Gaussiana: X_μX1 - E(μ_X1 = μ_{XsμX1~ N.>>> satta con varianza 6μX²/n}

Rifiutare H₀ se trovare nel set detto X_μX1+→os_μX1 calcolare tc:, E⋈/2 = P(X_μX1 ∈ S | H₀) = P(X_μX1 E[μ_XI])/snset (X_μX1) con t_n-1,εn.1

Errore nel primo tipo

Questo riguarda il caso in cui diciamo che il valor medio delle puliserischi c'è che edit. ε

Calcolo e conclusione

Calcolando con il campione RIFIUTIAMO H₀ se: μ_X - 0.16²_m/n

Test 2: Ipotesi

• H₀ 6% ≤ 0.1
• H₁ 6% > 0.1

S = ^{(n-1)n₁∧2/6^2}    x_n-1²

Deviniza: x_n-1² S

Formula: P(xn-12 ≤ P(xn-12 ≤ 'p (n-1)n1∧2) = P(n-1)(n12∧2) -6^2  ) E P(n-i)61∧2)(