Vettori

Lezione 2 — Vettori: modulo, direzione, verso e

componenti

1. Concetti essenziali

Grandezze scalari e vettoriali

Le grandezze fisiche si dividono in scalari e vettoriali.

Grandezza scalare

È completamente descritta da:

valore numerico + unit

aˋ di misura ​

Esempi: 5 kg

massa: ;

10 s

tempo: ;

temperatura: 20\,^\circ\text{C};

100 J

energia: ;

3

2 m

volume: .

Non occorre indicare una direzione.

Grandezza vettoriale

Per descriverla completamente servono:

modulo;

direzione;

verso;

in alcuni casi, punto di applicazione.

Esempi:

spostamento;

velocità;

accelerazione;

forza;

quantità di moto;

campo elettrico.

Un vettore si indica generalmente con una freccia:

, ,

v F a

oppure in grassetto: v

Rappresentazione geometrica

Un vettore si rappresenta con un segmento orientato.

AB

: punto di partenza;

A : punto di arrivo;

B

lunghezza della freccia: modulo;

retta sulla quale si trova: direzione;

orientamento della freccia: verso.

Modulo

Il modulo rappresenta l’intensità del vettore.

Si indica con: ∣ ∣

v

oppure semplicemente con: v

Il modulo è sempre non negativo: ∣ ∣ ≥ 0

v ​

Per esempio, una velocità può avere componente negativa lungo un asse, ma il suo

modulo non è mai negativo.

Direzione

La direzione è individuata dalla retta sulla quale giace il vettore.

Esempi:

orizzontale;

verticale; ∘

30

inclinata di ;

parallela all’asse .

x

Verso

Il verso indica da quale parte della direzione punta il vettore.

Su una direzione orizzontale possiamo avere:

verso destra;

verso sinistra.

Su una direzione verticale:

verso l’alto;

verso il basso.

Due vettori possono avere la stessa direzione ma verso opposto.

Vettori uguali

Due vettori sono uguali se hanno:

stesso modulo;

stessa direzione;

stesso verso.

Non è necessario che abbiano lo stesso punto di applicazione, quando si considerano

vettori liberi. =

a b ​

Vettori opposti

Il vettore opposto di si indica con:

a −a

Ha: stesso modulo;

stessa direzione;

verso opposto. ∣ − ∣ = ∣ ∣

a a

e: + (− ) = 0

a a

Vettore nullo

Il vettore nullo ha modulo zero: 0 ​

Non possiede una direzione e un verso determinati.

Somma di vettori

La somma di due vettori produce un nuovo vettore chiamato vettore risultante:

= +

R a b ​

Esistono due principali costruzioni geometriche.

Metodo punta-coda

Si dispone la coda del secondo vettore sulla punta del primo.

La risultante va:

dalla coda del primo;

alla punta del secondo.

Regola del parallelogramma

Si applicano i due vettori nello stesso punto e si costruisce un parallelogramma.

La diagonale che parte dal punto comune rappresenta la risultante.

Vettori con stessa direzione e stesso verso

I moduli si sommano: = +

R a b ​

Esempio: = 4 N, =3 N

a b

entrambi verso destra: =4+3 =7 N

R

La risultante è diretta verso destra.

Vettori con stessa direzione e verso opposto

I moduli si sottraggono: = ∣a −

R b∣ ​

Il verso della risultante è quello del vettore di modulo maggiore.

Esempio:

10 N verso destra;

6 N verso sinistra. = 10 − 6 = 4 N

R

4 N

La risultante è di verso destra.

Differenza tra vettori

La differenza si trasforma in una somma:

− = + (− )

a b a b ​

Quindi si cambia verso a e si esegue la somma.

b

Moltiplicazione per uno scalare

Moltiplicando un vettore per un numero :

k =

b ka

si ottiene un vettore:

∣k∣∣ ∣

di modulo ;

a

stessa direzione; > 0

stesso verso se ;

k < 0

verso opposto se .

k

Esempio: = 3a

b

Il modulo di è tre volte quello di .

b a

Se: = &mi