Prodotto scalare e vettoriale

Lezione 3 — Prodotto scalare e prodotto vettoriale

1. Concetti essenziali

Prodotto scalare

Il prodotto scalare tra due vettori e è un numero, cioè una grandezza scalare.

a b

Si indica con: ⋅

a b ​

e vale: ⋅ = cos

a b ab θ ​

dove: = ∣ ∣

;

a a

∣ ∣

= ;

b b

è l’angolo compreso tra i due vettori.

θ

Il risultato non è un vettore.

Significato geometrico

Il prodotto scalare misura quanto un vettore è orientato nella direzione dell’altro.

Infatti: ⋅

a b

può essere interpretato come il modulo di un vettore moltiplicato per la proiezione dell’altro

lungo la sua direzione.

Per esempio: =

⋅ cos

a b a(b θ)

cos

dove è la proiezione di lungo .

b θ b a

Segno del prodotto scalare

Il segno dipende dall’angolo.

Angolo acuto

Se: ∘ ∘

0 < < 90

θ

allora: cos > 0

θ

e quindi: >

⋅ 0

a b

Vettori perpendicolari

Se: ∘

= 90

θ

allora: ∘

cos 90 = 0

quindi: ⋅ = 0

a b ​

Due vettori non nulli sono perpendicolari se il loro prodotto scalare è nullo.

Angolo ottuso

Se: ∘ ∘

90 < < 180

θ

allora: cos < 0

θ

quindi: ⋅ 0

<

a b

Vettori paralleli e concordi

Se: ∘

= 0

θ

allora: ∘

cos 0 = 1

quindi: ⋅ =

a b ab ​

Vettori paralleli e discordi

Se: ∘

= 180

θ

allora: ∘

cos 180 = −1

quindi: ⋅ = −ab

a b ​

Prodotto scalare tramite componenti

Nel piano: = (a , )

a a

x y

​ ​

= (b , )

b b

x y

​ ​

allora: ⋅ = +

a b a b a b

x x y y

​ ​ ​ ​ ​

Nello spazio: ⋅ = + +

a b a b a b a b

x x y y z z

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Esempio

Siano: = (2, 3)

a

= (4, −1)

b

Il prodotto scalare vale: =

⋅ 2 ⋅ 4 + 3 ⋅ (−1)

a b =8−3

⋅ = 5

a b ​

Angolo tra due vettori

Dalla formula: =

⋅ cos

a b ab θ

si ricava: ⋅

a b

cos =

θ ​ ​

ab

e quindi: ( )

⋅

a b

= arccos

θ ​ ​

ab

Questa formula permette di trovare l’angolo tra due vettori.

Prodotto scalare di un vettore per sé stesso

Se moltiplichiamo un vettore per sé stesso: ⋅

a a

∘

0

l’angolo è , quindi: 2

⋅ =

a a a

Perciò: 2

⋅ = ∣ ∣

a a a ​

Da cui: ∣ ∣ = ⋅

a a a ​ ​

Applicazione fisica: il lavoro

Una delle applicazioni più importanti del prodotto scalare è il lavoro di una forza:

= ⋅

L F s ​

quindi: = cos

L F s θ

dove: è la forza;

F è lo spostamento;

s è l’angolo tra forza e spostamento.

θ

Il lavoro è una grandezza scalare.

Casi notevoli del lavoro

Forza concorde con lo spostamento ∘

= 0

θ =

L Fs

Il lavoro è positivo.

Forza perpendicolare allo spostamento ∘

= 90

θ =0

L

Forza opposta allo spostamento ∘

= 180

θ = −F

L s

Il lavoro è negativo.

Prodotto vettoriale

Il prodotto vettoriale tra e produce un vettore.

a b

Si indica con: ×

a b ​

Il suo modulo vale: ∣ × ∣ = sin

a b ab θ ​

dove è l’angolo tra i due vettori.

θ

Direzione del prodotto vettoriale

Il vettore: ×

a b

è