Matematica finanziaria – Appunti dettagliati completi del corso

M F

SBOBINE

DI MATEMATICA FINANZIARIA

Dal corso Prof. E. Russo

2026

Indice

Indice delle lezioni 2

1

Indice delle lezioni

1. Lezione 1 – Introduzione alla Matematica Finanziaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

2. Lezione 2 – Grandezze fondamentali, operazione somma, titoli obbligazionari e leggi

di capitalizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3. Lezione 3 – Legge esponenziale, legge di sconto commerciale, tassi equivalenti . . 17

4. Lezione 4 – Valutazione di una generica operazione finanziaria, equità e proprietà

delle leggi di capitalizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5. Lezione 5 – Le rendite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6. Lezione 6 – Rendite: equità, ricerca delle incognite ed esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

7. Lezione 7 – Operazioni di rendita nell’aspetto dinamico e ammortamento francese

65

8. Lezione 8 – Ammortamento a quote capitali costanti e piani con preammortamento

76

9. Lezione 9 – REA, VAN e TIR come criteri di scelta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84

10. Lezione 10 – Calcolo esatto e approssimato del TIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

11. Lezione 11 – Esercizi integrati su rendite, TIR, piani di ammortamento e portafogli

105

12. Lezione 12 – Indici temporali, Duration, Duration di secondo ordine, rendite e

portafogli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

13. Lezione 13 – Valore e duration di un portafoglio, duration modificata e variazione

del valore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

14. Lezione 14 – Esercizi su duration, portafogli, TIR e piani di ammortamento . . 134

15. Lezione 15 – Funzione valore e prezzi di mercato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

16. Lezione 16 – Contratti a termine (forward), strutture per scadenza e tassi impliciti

155

17. Lezione 17 – Strutture per scadenza, relazione tra tassi a pronti e tassi a termine,

esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

18. Lezione 18 – Esercitazione su arbitraggio, prezzi impliciti e titoli a cedola fissa 173

19. Lezione 19 – Arbitraggio, rischio di tasso e introduzione all’immunizzazione finan-

ziaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

20. Lezione 20 – Immunizzazione finanziaria, Teorema di Fisher-Weil e ricalibratura del

portafoglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

21. Lezione 21 – Completamento dell’immunizzazione finanziaria e possibile estensione

del Teorema di Fisher-Weil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

Nota: la Lezione 21 è una ricostruzione ipotetica coerente con le lezioni precedenti.

2 Pagina 1

Lezione 1 – Introduzione alla Matematica Finanziaria

Giuseppe Fusaro

April 2026

1 Introduzione

La matematica finanziaria studia gli scambi di somme di denaro che avvengono in tempi diversi. Il

punto di partenza della materia è che una somma monetaria non può essere considerata isolatamente dal

momento in cui è disponibile. Dire semplicemente “100 euro” non è sufficiente: bisogna sempre specificare

quando questi 100 euro sono esigibili. In altri termini, 100 euro oggi non sono la stessa cosa di 100 euro

domani. Il tempo modifica il valore del denaro.

Per questo motivo, la matematica finanziaria si occupa di operazioni in cui il denaro si muove da una

parte all’altra in istanti diversi. Se un soggetto riceve oggi una certa somma e si impegna a restituirla in

futuro maggiorata, allora si è già in presenza di un’operazione finanziaria. Nel corso si studiano queste

operazioni in cioè in situazioni in cui le variabili rilevanti sono note, oppure sono

condizioni di certezza,

note le regole che permettono di determinarle.

2 Operazione finanziaria e scambio non contemporaneo

Un’operazione finanziaria è uno scambio non contemporaneo di almeno due somme di denaro.

L’espressione “non contemporaneo” è fondamentale, perché introduce immediatamente il ruolo del

tempo. Se due somme venissero scambiate nello stesso istante, non si porrebbe alcun vero problema

finanziario. Il problema nasce quando una somma viene incassata in un certo momento e una seconda

somma viene pagata o ricevuta in un momento successivo.

L’esempio più semplice è il seguente: un soggetto riceve oggi una somma e si impegna a restituir-

S

la in un tempo futuro maggiorata di una quantità monetaria aggiuntiva. Questa quantità aggiuntiva

rappresenta il compenso per l’utilizzo del denaro nel tempo.

L’operazione finanziaria può essere letta da due punti di vista:

• dal punto di vista di chi riceve oggi la somma, essa rappresenta un finanziamento;

• dal punto di vista di chi eroga oggi la somma e riceverà in futuro una quantità maggiore, essa

rappresenta un investimento.

In entrambi i casi, il problema matematico è lo stesso: comprendere come una somma disponibile in

un certo istante si trasformi in una somma disponibile in un istante successivo.

3 Il tempo come elemento fondamentale

Dalla definizione di operazione finanziaria emergono due aspetti essenziali:

• il denaro;

• il tempo.

Tra i due, il tempo è l’elemento decisivo. Il denaro, in matematica finanziaria, non viene mai studiato

isolatamente. Ogni somma deve essere sempre associata al proprio istante di esigibilità, cioè al momento

in cui viene incassata o pagata.

Se indichiamo con t 0

l’istante iniziale e con t 1

1 Pagina 2

l’istante finale, allora l’intervallo −

t t

1 0

misura la durata dello scambio e prende il nome di orizzonte temporale.

Se, per esempio, si assume che oggi corrisponda all’istante

t = 0

0

e che il secondo flusso monetario avvenga tra un anno, allora si ha

t = 1

1

e quindi −

τ = t t = 1.

1 0

L’unità di misura del tempo può essere scelta liberamente: anno, mese, trimestre, giorno. L’importante

è che venga fissata in modo chiaro e utilizzata coerentemente in tutta l’analisi.

4 L’asse temporale

Quando si studia un’operazione finanziaria, la prima cosa da fare è costruire l’asse temporale. L’asse

temporale è una retta orientata sulla quale si collocano gli istanti in cui le somme monetarie sono esigibili.

Si fissa normalmente l’istante iniziale t = 0

0

e si considerano poi istanti successivi t , t , . . . , t .

1 2 m

A ciascuno di questi istanti si associa un importo monetario. Se alla data è esigibile la somma ,

t S

k k

allora una generica operazione finanziaria è costituita da una successione di tempi e da una successione

di importi: t , t , t , . . . , t

0 1 2 m

S , S , S , . . . , S .

0 1 2 m

L’insieme ordinato degli importi e dei tempi costituisce lo dell’operazione.

scadenziario

Il punto centrale è che una somma monetaria ha significato soltanto se è legata al tempo in cui è di-

sponibile. Dire soltanto senza dire a quale tempo è esigibile significa dare un’informazione incompleta.

S

k

In matematica finanziaria, somme e tempi di esigibilità devono sempre essere considerati insieme.

5 Segno dei flussi monetari

Ogni flusso monetario può essere descritto dal punto di vista di una delle due controparti coinvolte nello

scambio.

Dal punto di vista del soggetto considerato:

• un incasso ha segno positivo;

• un esborso ha segno negativo.

Se un soggetto riceve oggi una somma allora il flusso iniziale sarà

S, +S.

Se successivamente lo stesso soggetto restituirà una somma maggiore, allora il flusso finale sarà

negativo.

Se invece si guarda la stessa operazione dal punto di vista della controparte, i tempi restano identici

ma i segni si invertono. Questo significa che:

• i tempi dell’operazione sono oggettivi;

• i segni dei flussi dipendono dal punto di vista adottato.

2

6 Operazione finanziaria elementare a pronti

Consideriamo la forma più semplice di operazione finanziaria.

Un soggetto riceve oggi, all’epoca una somma Poiché questa somma viene ricevuta, essa

t = 0, S.

rappresenta un incasso: +S.

Supponiamo che lo stesso soggetto si impegni a restituire questa somma all’epoca maggiorata

t = 1,

di una quantità che rappresenta l’interesse. La somma finale sarà dunque

I, S + I.

Poiché si tratta di un pagamento, il flusso finale sarà

−(S + I).

Lo scadenziario dell’operazione, dal punto di vista di chi riceve la somma iniziale, è quindi:

−(S

(+S, + I)) .

(0, 1)

Questa è un’operazione finanziaria elementare perché è costruita su due soli istanti temporali:

a pronti,

• l’istante iniziale, nel quale avvengono sia la contrattazione sia il primo movimento monetario;

• l’istante finale, nel quale si ha il rimborso.

Il problema fondamentale che nasce da questa operazione è il seguente: se oggi si riceve quanto

S,

bisogna restituire tra un anno? Per rispondere a questa domanda serve una legge che descriva l’evoluzione

del denaro nel tempo.

7 Il significato economico dell’interesse

Nel passaggio da a la quantità prende il nome di

S S + I, I interesse.

L’interesse rappresenta il compenso riconosciuto a chi ha messo a disposizione il capitale iniziale. Se

una parte riceve oggi una somma e la restituirà in futuro, la differenza tra la somma finale e quella iniziale

remunera il fatto che il denaro è stato utilizzato per un certo intervallo di tempo.

Se, per esempio, una parte riceve oggi 100 euro e tra un anno restituisce 110 euro, allora i 10 euro

aggiuntivi costituiscono l’interesse.

Formalmente: somma finale somma iniziale.

−

I =

In condizioni di certezza si assume normalmente che

I > 0,

perché nessuno presta una somma oggi per ricevere in futuro una quantità inferiore o uguale.

L’idea che emerge è la seguente: all’aumentare del tempo di utilizzo del denaro, aumenta anche la

somma da restituire.

8 Differimento del pagamento e crescita del valore nel tempo

Supponiamo che un soggetto abbia ricevuto oggi la somma e che debba restituire all’istante la

S t = 1

somma S + I.

Supponiamo però che all’istante questa somma non venga restituita e che il pagamento venga

t = 1

rinviato all’istante t = 2.

In questo caso il soggetto continua a trattenere una ricchezza che non gli appartiene anche per l’inter-

vallo successivo. Per questo motivo non potrà restituire semplicemente anche all’istante 2. Dovrà

S + I

aggiungere un’ulteriore quota di interessi, che possiamo indicare con

′

I .

3

La nuova somma finale diventa quindi ′

S + I + I .

Questa osservazione mostra con chiarezza che il valore monetario cresce al crescere del tempo. Se

il periodo durante il quale il capitale viene trattenuto si allunga, la somma finale da restituire deve

aumentare.

9 Operazione finanziaria a termine

Il ragionamento precedente permette di introdurre una seconda forma elementare di operazione finanzia-

ria: l’operazione a termine.

In questo caso si distinguono tre istanti:

• istante di contrattazione;

t = 0:

• istante in cui avviene il primo movimento monetario;

t = 1:

• istante in cui avviene il secondo movimento monetario.

t = 2:

La caratteristica dell’operazione a termine è che all’istante iniziale non avviene alcuno scambio di

denaro. In si fissano solo le condizioni dell’operazione. I flussi effettivi si realizzeranno in tempi

t = 0

successivi.

Se in si stabilisce che all’istante si riceverà una somma pari a

t = 0 t = 1 S + I

e che questa verrà restituita all’istante come

t = 2 ′

S + I + I ,

allora l’operazione è un’operazione a termine.

La differenza rispetto all’operazione a pronti è netta:

• nell’operazione a pronti il primo movimento monetario coincide con l’istante di contrattazione;

• nell’operazione a termine l’istante di contrattazione precede il primo movimento monetario.

10 Rappresentazione vettoriale dell’operazione

Una generica operazione finanziaria può essere rappresentata in forma compatta mediante due vettori:

• il vettore degli importi;

• il vettore dei tempi.

Se indichiamo con X

il vettore degli importi e con T

il vettore dei tempi, allora una generica operazione finanziaria si può scrivere come

X .

T

Nel caso dell’operazione elementare a pronti si ha:

−(S

X = (S, + I))

T = (0, 1)

e quindi: −(S

X (S, + I))

= .

T (0, 1)

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9.1 Il caso dei BOT

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10.1 Prezzo sopra, alla e sotto la pari

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10.2 Tasso cedolare e tasso nominale annuo

10.3 Esempio

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10.4 Tassazione e rateo Pagina 16

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Lezione 3 – Legge esponenziale, legge di sconto commerciale,

tassi equivalenti

Giuseppe Fusaro

April 2026

1 Introduzione

In questa lezione si riprendono innanzitutto le leggi degli interessi semplici e degli interessi composti, già

introdotte in precedenza, per collegarle in modo diretto al concetto di intensità istantanea di interesse. A

partire da questo collegamento si costruisce la legge esponenziale, che rappresenta una terza importante

legge di valutazione finanziaria. Successivamente si analizza come una somma disponibile in un certo

istante possa essere trasferita a un istante successivo o precedente secondo le tre leggi considerate. Si

richiama poi la legge di sconto commerciale, introdotta come legge storicamente utilizzata per attualizzare

importi futuri, e si passa al concetto di tassi equivalenti. Infine si svolge la valutazione di un titolo a

cedola fissa riportando tutti i flussi alla stessa epoca e si introduce il tasso nominale di interesse.

2 Richiamo delle leggi degli interessi semplici e composti

Si consideri un intervallo temporale che va da a e si supponga che all’epoca iniziale sia disponibile

0 t,

una somma cioè

S, W (0) = S.

Se si lavora sotto la legge degli interessi semplici, il valore all’epoca della somma iniziale è dato da

t

W (t) = S(1 + it),

dove è il tasso di interesse periodale espresso nella stessa unità di misura con cui si misura il tempo.

i

Se invece si lavora sotto la legge degli interessi composti, il valore all’epoca della stessa somma è

t

dato da t

W (t) = S(1 + i) .

Nel primo caso gli interessi vengono calcolati sempre sul capitale iniziale; nel secondo caso gli interessi

si calcolano sul capitale via via accumulato.

3 Intensità istantanea di interesse nella legge composta

Si riprende ora l’esercizio assegnato, cioè il calcolo dell’intensità istantanea di interesse associata alla

legge degli interessi composti.

Per definizione, l’intensità istantanea di interesse è

d log W (t).

δ(t) = dt

Se la funzione valore è quella della legge composta, cioè t

W (t) = S(1 + i) ,

allora si ottiene d t

δ(t) = log S(1 + i) .

dt 1 Pagina 19

Si applica la derivata del logaritmo di una funzione. La derivata del logaritmo è uguale a uno fratto

l’argomento, moltiplicato per la derivata dell’argomento. Si ha quindi

d

1 t

·

δ(t) = S(1 + i) .

t

S(1 + i) dt

Poiché è costante, la derivata dell’argomento è

S d t t

S(1 + i) = S(1 + i) log(1 + i).

dt

Sostituendo questa espressione si ottiene 1 t

· S(1 + i) log(1 + i).

δ(t) = t

S(1 + i)

I fattori uguali al numeratore e al denominatore si semplificano, e resta

δ(t) = log(1 + i).

Quindi, sotto la legge degli interessi composti, l’intensità istantanea di interesse è una costante:

δ = log(1 + i).

Questo risultato è fondamentale, perché permette di collegare direttamente la legge composta alla

legge esponenziale.

4 Derivazione della legge esponenziale

Si parte dalla definizione generale di intensità istantanea di interesse:

d

δ(t) = log W (t).

dt

L’obiettivo è ricavare la forma esplicita della funzione valore W (t).

Si considera l’intervallo temporale che va da a Per eliminare la derivata si integra tra e Si

0 t. 0 t.

ottiene t t

Z Z d

δ(u) du = log W (u) du.

du

0 0

Nel membro di destra compare l’integrale della derivata della funzione Per il teorema

log W (u).

fondamentale del calcolo integrale si ha

t

Z d −

log W (u) du = log W (t) log W (0).

du

0<