Matematica Finanziaria

Matematica finanziaria

Introduzione

La matematica finanziaria studia le operazioni finanziarie, ovvero quelle attività che presuppongono il coinvolgimento di somme monetarie.

Alla base dello studio di questa materia vi è l’esigenza di soddisfare i bisogni economici di tutti gli esseri umani. Qui sorge un problema: non tutti hanno la possibilità di soddisfare i propri bisogni economici sia in termini pecuniari sia in termini di cadenza temporale. Proprio per questo motivo nasce il mercato dei capitali e lo studio della matematica finanziaria che fornisce gli strumenti per prendere decisioni consapevoli di mercato.

L’ente matematico di questa materia è l’importo datato, ovvero una coppia di valori (C, X) in cui “C” è l’importo monetario e “X” è l’epoca nella quale l’importo è disponibile. Tutte le operazioni sono espresse attraverso importi datati.

Le operazioni finanziarie sono scambi di importi disponibili in epoche differenti e si dividono in:

• Elementari: solo due importi alle corrispondenti epoche (C₁, X); (C₂, Y).
• Composte: più di due importi e più di due epoche.

Il mercato dei capitali

Il mercato dei capitali è dove si compiono sostanzialmente due azioni:

• Si reperiscono le risorse.
• Si impiegano le risorse in surplus.

Viene definito “perfetto” per i seguenti motivi:

• Non ci sono costi di transazione.
• Non ci sono costi fiscali.
• Non ci sono costi di intermediazione.
• Tutti gli operatori hanno accesso gratuito alle informazioni.
• Tutti gli operatori mirano alla massimizzazione del profitto e alla minimizzazione dei costi.
• Tutte le operazioni finanziarie sono divisibili in ogni istante.
• Esiste un solo prezzo per ogni operazione in ogni istante.

L’asse dei tempi

Le operazioni finanziarie elementari vengono espresse in un asse dei tempi siffatto:

C₁ C₂
X Y

Dove:

• X è antecedente a Y.
• C₁ e C₂ sono espressi con la stessa unità di misura monetaria.
• X e Y sono espressi con la stessa unità di misura temporale.

Analisi di un’operazione finanziaria

Quando si analizza un’operazione finanziaria, bisogna tenere conto che:

• Possedere del denaro è vantaggioso.
• Avere la disponibilità temporanea di capitale altrui o utilizzare capitale proprio ha un prezzo.
• Se ho due somme differenti disponibili alla stessa epoca, preferisco la somma algebricamente maggiore.
• Se ho la stessa somma in epoche differenti, scelgo la somma disponibile all’epoca antecedente.

Leggi e regimi finanziari

Operazioni di investimento e di finanziamento

Le operazioni finanziarie elementari si dividono in operazioni finanziarie di investimento (o di capitalizzazione) e operazioni finanziarie di finanziamento (o di anticipazione).

Nell’operazione di investimento si investe una somma P (capitale investito) ad una certa epoca X (data di inizio) per avere successivamente una somma M (montante) ad una certa epoca Y (data di scadenza):

M = 1050
P = -1000
X = 13/09/2016 Y = 13/09/2017

Dove la differenza tra il montante e il capitale investito è uguale all’interesse dell’operazione (M – P = I = 50), ovvero la somma a cui siamo disposti a rinunciare a P ora per poter avere M successivamente.

Per ogni operazione di investimento vi è una corrispondente operazione di finanziamento, in cui viene anticipata una somma P (valore attuale) ad una certa data X (data di anticipazione) che dovrà essere restituita in somma M (capitale da rimborsare) ad una certa data Y (data di scadenza):

M = -1050
P = 1000
X = 13/09/2016 Y = 13/09/2017

Dove la differenza tra il capitale da rimborsare e valore attuale è uguale allo sconto dell’operazione (M – P = D = 50), ovvero la somma a cui siamo disposti a rinunciare per avere la somma P subito.

Operazione finanziaria sui titoli di Stato

I BOT, buoni ordinari del tesoro, sono titoli di Stato emessi dal Ministero del Tesoro per reperire risorse finanziarie. In un’operazione così, gli intermediari finanziari, ad esempio banche, compiono operazioni di investimento, mentre il Ministero del Tesoro compie un’operazione di anticipazione.

I BOT possono essere comprati sia sul mercato primario attraverso le aste competitive, sia sul mercato secondario attraverso la compravendita di titoli precedentemente emessi attraverso un meccanismo d’asta: esistono BOT a 3, 6, 12 mesi e, quindi, chi decide di vendere i titoli prima della scadenza trova acquirenti disposti a comprare il titolo sul mercato secondario, ad esempio BCE.

In questo momento, i BOT hanno tasso d’interesse negativo ma vengono comunque sia comprati perché solitamente investire con rendimenti negativi è più sicuro che tenere liquidità: nell’asta del 12/09/2016 sono stati venduti ad un prezzo medio ponderato di 100,178 euro quando il loro rimborso nominale è fissato a 100,00 euro.

Per comodità prendiamo i dati dell’asta del 31/07/2014 in cui vennero emessi BOT a 6 mesi:

Operazione di investimento
P = 99,88 M = 100,00
X = 31/07/2014 Y = 30/01/2015

P = 99,88 capitale investito
M = 100,00 montante
X = 31/07/2014 data inizio operazione
Y = 30/01/2015 scadenza
I = M – P = 0,12 = 12% interesse assoluto

…e in termini relativi?

Se 0,12 è l’interesse per 99,88 euro, quanto è per 1 euro investito?

0,12 : 99,88 = ? : 1

i_x,y = I_x,y / P_x = 0,12 / 99,88 = 0,0012014 = 0,12014% interesse unitario, ovvero l’interesse dell’investimento che ottengo all’epoca Y per ogni euro investito all’epoca X.

All’interesse unitario risponde il montante unitario:

Se 100 euro sono il montante per 99,88 euro investiti, quanto è per 1 euro investito?

100 : 99,88 = ? : 1

r_x,y = M_y / P_x = 100 / 99,88 = 1,0012014 montante unitario, ovvero il montante che ottengo all’epoca Y per ogni euro investito all’epoca X.

Operazione di anticipazione
P = 99,88 M = 100,00
X = 31/07/2014 Y = 30/01/2015

P = 99,88 valore attuale
M = 100,00 capitale da rimborsare
X = 31/07/2014 data inizio operazione
Y = 30/01/2015 scadenza
D = M – P = 0,12 = 12% sconto

…e in termini relativi?

Se 0,12 è lo sconto per 100 euro da rimborsare, quanto è per 1 euro da rimborsare?

0,12 : 100 = ? : 1

d_x,y = D_x,y / M_y = 0,12 / 100 = 0,0012 = 0,12% sconto unitario, ovvero la somma a cui sono disposto a rinunciare per ogni euro rimborsabile a scadenza.

Allo sconto unitario risponde il valore attuale unitario:

Se 99,88 è il valore attuale per 100 euro da rimborsare, quanto è per 1 euro da rimborsare?

99,88 : 100 = ? : 1

v_x,y = P_x / M_y = 99,88 / 100 = 0,9988 valore attuale unitario, ovvero la somma unitaria finanziata all’epoca X per ogni euro rimborsato all’epoca Y.

Riepilogo delle formule

Grandezze relative (vale il criterio della proporzionalità tra gli importi):

r_x,y = M_y / P_x = MONTANTE UNITARIO
i_x,y = I_x,y / P_x = INTERESSE UNITARIO
v_x,y = P_x / M_y = VALORE ATTUALE UNITARIO
d_x,y = D_x,y / M_y = SCONTO UNITARIO

Relazioni tra grandezze assolute e grandezze relative:

M_y = P_x * r_x,y
I_x,y = P_x * i_x,y
P_x = M_y * v_x,y
D_x,y = M_y * d_x,y

Relazione tra le grandezze relative:

r_x,y i_x,y v_x,y d_x,y
r r – 1 1 / r 1 – (1 / r)
i 1 + i 1 / (1 + i) 1 – (1 / 1 + i)
v 1 / v (1 / v) – 1 1 – v
d 1 / (1 – d) (1 / 1 – d) - 1 1 – d

Grandezze standardizzate nel tempo

Con le grandezze finanziarie relative si è standardizzato il capitale. Ora, riprendendo in considerazione il BOT a 6 mesi del 31/07/2014, si determina una misura che sia standardizzata nel tempo, ovvero che sia calcolata in proporzione ai giorni dell’anno.

P = 99,88 M = 100,00
X = 31/07/2014 Y = 30/01/2015

Questo BOT a 6 mesi dura esattamente 183 giorni.

Se 0,0012014 è l’interesse unitario per 183 giorni, quanto è per un anno?

0,0012014 : 183 = ? : 365

i = (0,0012104 * 365) / 183 = 0,002396 = 0,2396% tasso d’interesse, ovvero l’interesse prodotto da 1 euro in un anno (interesse unitario annuo).

I giorni dell’anno possono essere presi come 365 se si considera l’anno civile o come 360 se si considera l’anno commerciale.

i = (0,0012104 * 360) / 183 = 0,00236 = 0,236% tasso d’interesse del 2014.

In un BOT a 12 mesi l’interesse unitario è uguale al tasso d’interesse (i_x,y = i).

Le altre grandezze relative annue si calcolano con il tasso d’interesse:

r = 1 + i fattore di capitalizzazione, ovvero il montante unitario che ottengo in un anno avendo investito 1 euro.

v = 1 / r = 1 / (1+i) fattore di attualizzazione, ovvero la somma anticipata oggi per 1 euro di capitale rimborsabile fra un anno.

d = 1 – v = 1 – (1/r) = 1 – [1/(1+i)] tasso di sconto, ovvero la somma a cui sono disposto a rinunciare per 1 euro rimborsabile fra un anno.

Regime finanziario della capitalizzazione semplice

Riprendendo il nostro esempio:

P = 99,88 M = 100,00
X = 31/07/2014 Y = 30/01/2015

i = (I / P_x) * (1/t) = (0,12014 / 99,88) * (183 / 360) = 0,00236 = 0,236%

Da cui possiamo ricavare la formula inversa:

I_x,y = P_x * i * t = 0,12 = 12% dove t esprime la durata espressa in anni.

Il prodotto i*t è l’interesse di un’operazione per 1 euro di capitale investito in 1 anno e può essere inteso anche come i(t), che è la funzione dell’interesse.

Quindi, in definitiva:

I_x,y = P_x * i(t) interesse proporzionale al capitale investito e al tempo.

In questo modo si entra nel regime finanziario della capitalizzazione semplice.

Che cosa è un regime finanziario?

Il regime finanziario è un’espressione analitica che ci permette di calcolare una delle quattro grandezze: in C.S è i(t); in C.C è r(t); in C.S.C è d(t).

Essendo in un regime finanziario, possiamo esprimere una legge finanziaria, ovvero l’attribuzione di un parametro nell’espressione analitica, che nella capitalizzazione semplice è:

i(t) = i * t

Definita la legge finanziaria della capitalizzazione semplice, possiamo calcolare le altre tre grandezze:

r(t) = 1 + i(t) = 1 + i*t
v(t) = 1 / r(t) = 1 / 1 + i(t) = 1 / 1 + i*t
d(t) = 1 – v(t) = 1 – 1/r(t) = 1 – 1/1+i(t) = 1 – 1/1+i*t sconto razionale, tasso di sconto nel regime finanziario della capitalizzazione semplice.

Queste formule possono essere espresse anche in funzione delle altre grandezze:

All’interno del regime finanziario della capitalizzazione semplice è possibile prendere un importo di oggi e vedere quanto vale in un’epoca futura: operazione di capitalizzazione.

1 r(t) = 1 + i*t
Operazione di capitalizzazione YX

Inoltre, è possibile prendere un importo di un’epoca futura e vedere quanto vale oggi: operazione di attualizzazione.

v(t) = 1 + 1*t Operazione di attualizzazione 1YX

Nel regime finanziario della capitalizzazione semplice, conoscendo il tasso di sconto, è possibile ricavarsi il tasso d’interesse: si prende il tasso di sconto e lo si capitalizza.

i = d*r = d*1/v = d/(1-d) tasso d’interesse anticipato (tasso di sconto capitalizzato ????)

Viceversa: conoscendo il tasso d’interesse, è possibile ricavarsi il tasso di sconto compiendo un’operazione di attualizzazione sul tasso d’interesse.

d = v*i = 1/r * i = [1/(1+i)] * i = i/1+i tasso d’interesse attualizzato.

Grafici delle funzioni delle grandezze finanziarie relative in capitalizzazione semplice

Sono funzioni lineari:

i(t) = i*t
i(t)
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 t
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
i(t)

r(t) = r*t
r(t)
16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 t
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
r(t)

v(t) v(t) = v*t
1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 t
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
v(t)

d(t) = d*t
1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
d(t)

Inscindibilità della capitalizzazione semplice

Si riprende l’esempio del BOT emesso il 31/07/2014:

P = 99,88 M = 100,00
X = 31/07/2014 22/09/2014 Y = 30/01/2015
con i = 0,23635%

Il 22/09/14 si decide di uscire dall’operazione finanziaria e si vuole vendere il titolo al prezzo a cui vale ora.

Per calcolare quanto vale il titolo il 22/09/2014, bisogna capitalizzare il capitale investito P_x:

M’_y = P_x * r(t) = P_x * (1 + i*t) = 99,88 [1 + 0,0023635*(53/360)] = 99,914754

Oppure attualizzare il montante:

P’_x = M_y * v(t) = M_y * [1/(1+i*t)] = [100 * [1/1+0,0023635*(130/360)]] = 99,914724

Come possiamo notare, i due risultati non sono rigorosamente uguali:

• Chi vende il titolo vorrebbe venderlo al costo M’_y.
• Chi compra il titolo vorrebbe comprarlo al costo P’_x.

Perché c’è questa incongruenza?

Questa incongruenza è tipica del regime finanziario della capitalizzazione semplice in quanto essa non gode della proprietà della scindibilità.

Regime finanziario della capitalizzazione composta

Per superare questa incongruenza è necessario affidarci ad un nuovo regime finanziario, ovvero quello della capitalizzazione composta.

Sotto-periodi P I = M
P * i * t
0 – 1 1 1 * i * 1 1 + i
1 – 2 1 + i (1+i) * i * 1 (1 + i) + (1 + i) * i = (1 + i) * (1 + i) = (1 + i)²
2 – 3 (1 + i)² (1+i) * i * 1 (1 + i)² + (1 + i)² * i = (1 + i)² * (1 + i) = (1 + i)³
3 – 4 (1 + i)³ (1+i) * i * 1 (1 + i)⁴
4 – 5 (1 + i)⁴ (1+i) * i * 1 (1 + i)

Nel regime della capitalizzazione composta, l’interesse I_x,y è proporzionale al capitale rimborsabile M_y ad inizio di ogni sotto-periodo, nella capitalizzazione semplice l’interesse era proporzionale al capitale investito e al tempo.

Per la capitalizzazione composta, si definisce la funzione analitica del montante per calcolare le altre grandezze relative:

r(t) = 1 + i(t) = (1+i)^t

Da cui ricaviamo:

i(t) = [1+i(t)] – 1 = (1+i)^t – 1
v(t) = 1 / r(t) = 1 / 1 + i(t) = 1 / (1 + i)^t = (1+i)^-t
d(t) = 1 – v(t) = 1 – 1/r(t) = 1 – 1/1+i(t) = 1 – 1/(1+i)^t = 1 – (1+i)^-t sconto composto, tasso di sconto nel regime finanziario della capitalizzazione composta.

Riprendendo l’esempio del BOT emesso il 31/07/2014, verifichiamo se nel regime della capitalizzazione composta viene risolta l’incongruenza tra M’_y e P’_x presente nel regime finanziario della capitalizzazione semplice.

P = 99,88 M = 100,00
X = 31/07/2014 22/09/2014 Y = 30/01/2015

Sapendo che:

• M_y = P_x * r(t) = P_x * (1 + i)^t
• P_x = M_y * v(t) = P_x * (1 + i)^-t
• I_x,y = P_x * i(t) = P_x * [(1 + i)^t – 1]
• D_x,y = M_y * d(t) = M_y [1 – (1+i)^-t]

Calcoliamoci il tasso d’interesse, utilizzando la formula inversa di M_y:

i = (M_y / P_x)^360/183 – 1 = (100/98)^-183/360 – 1 = 0,23649%

Quindi, calcoliamoci il prezzo del titolo in data 22/09/2014, capitalizzando il capitale investito e attualizzando il montante.

M’_y = P_x * (1+i)^53/360 = 99,88 * (1 + 0,0023649) = 99,91473928

P’_x = M_y * (1+i)^-183/360 = 100 * (1 + 0,0023649) = 99,91473928

Grafici delle funzioni delle grandezze finanziarie relative in capitalizzazione composta

Sono funzioni esponenziali:

i(t) = (1 + i)^t - 1
60 50 40 30 20 10 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
i(t)

r(t) = (1 + i)^t
70 60 50 40 30 20 10 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
r(t)

v(t) = (1 + i)^-t
1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
v(t)

d(t) = 1 - (1+i)^-t
1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
d(t)

Scindibilità della capitalizzazione composta

P = 1000 M = ?
0 5 0 3 5
con i = 0,05 = 5%

M₅ = P₀ * r(t) = 1000 * (1 + 0,05)⁵ = 1276,2815

M’₃ = P₀ * r(t) = 1000 * (1 + 0,05)³ = 1157,625

P’₃ = M₅ * v(t) = 1276,281 * (1 + 0,05)^-3 = 1157,625

M’₃ = P’₃ sono uguali perché il regime finanziario della capitalizzazione composta gode della proprietà della scindibilità, ovvero il poter interrompere e riprendere istantaneamente un’operazione finanziaria senza mutare il valore finale della medesima.

Inscindibilità della C.S e scindibilità della C.C

Riprendendo l’esempio precedente, si sintetizza in formula ciò che si è detto sulla proprietà della scindibilità nei due regimi finanziari fin qui visti:

P M
0 n
0 s n

Nella capitalizzazione semplice:

P * (1 + i * s) ≠ M / [1 + i *(n-s)]

P * (1 + i * s) ≠ P * (1 + i * n) / [1 + i *(n-s)]

P * (1 + i * s) * [1 + i