Appunti di Metodi matematici e probabilistici

Metodi Matematici e Probabilistici (9 CFU)

Prof. Marco Spadini - UniFi

Universita degli Studi di Firenze - Corso di Laurea (9 CFU)

Metodi Matematici e Probabilistici

Appunti strutturati dalle lezioni del Prof. Marco Spadini - Parte 1 (Lezioni 16/09, 17/09, 18/09)

Struttura dell'Esame e Metodo: (1) Scritto: Test sul Calcolo delle Probabilita. (2) Orale: Complementi di Analisi Matematica. Il calcolo delle probabilita (nato storicamente da problemi finanziari e d'azzardo) procede sempre in due fasi: 1. Si crea il modello (traduzione del problema reale in insiemi); 2. Si fanno i conti (calcolo tramite gli assiomi).

1 Spazio di Probabilita, sigma-Algebra e Assiomi (Lez. 16/09/2026)

Definizione (Spazio Campionario Omega, Eventi e sigma-algebra A). Dato un esperimento aleatorio (es. lancio di un dado):

• Spazio dei possibili risultati (Omega): e l'insieme di tutti i possibili esiti elementari omega dell'esperimento.
• Eventi e sigma-algebra (A): costruiamo una famiglia A di sottoinsiemi di Omega. Ogni insieme A appartenete A (con A sottoinsieme di Omega) si chiama evento. Affinche il modello funzioni, A deve essere una sigma-algebra, cioe soddisfare 4 proprieta di chiusura:

1. Intersezioni e unioni finite: se A₁, A₂ appartenente A implica A₁ intersezione A₂ appartenete A e A₁ unione A₂ appartenete A.
2. Complementare: se A appartenente A implica A^c := Omega \ A appartenete A (evento "non si verifica A").
3. Insieme vuoto: poiche Omega appartenete A implica emptyset = Omega^c appartenete A (evento impossibile).
4. Unioni e intersezioni numerabili: data una famiglia {A_i}_{i appartenente I} sottoinsieme A (con I insieme numerabile di indici):

unione_{i appartenente I} A_i appartenete A implica intersezione_{i appartenente I} A_i appartenete A (segue dalle leggi di De Morgan: (unione_{i appartenente I} A_i^c)^c = intersezione_{i appartenente I} A_i).

In parole povere: Nel lancio del dado, Omega = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Il singolo numero omega = 4 e un esito elementare (omega appartenente Omega), mentre la frase "esce un numero pari" e l'evento A = {2, 4, 6} sottoinsieme Omega. Le operazioni tra insiemi traducono la logica: A unione B = "A oppure B"; A intersezione B = "A e B insieme"; A^c = "non A"; A intersezione B = emptyset = "A e B sono disgiunti (incompatibili)". Quando Omega e finito o numerabile, si prende quasi sempre A = P(Omega) = 2^Omega (insieme delle parti, cioe tutti i sottoinsiemi possibili di Omega).

Definizione (Misura di Probabilita P e Spazio di Probabilita (Omega, A, P)). Una funzione P : A -> [0,1] (che associa a ogni evento A appartenente A un numero reale tra 0 e 1) e una probabilita se soddisfa due assiomi:

Assioma 1: P(Omega) = 1 (l'evento certo ha probabilita 1).

Assioma 2: Additivita (sigma-additivita): Se A₁, A₂ appartenente A sono disgiunti (A₁ intersezione A₂ = emptyset), allora P(A₁ unione A₂) = P(A₁) + P(A₂). Piu in generale, per una famiglia {A_i}_{i appartenente I} sottoinsieme A di eventi a due a due disgiunti (A_i intersezione A_j = emptyset per i != j):

P(unione_{i appartenente I} A_i) = somma_{i appartenente I} P(A_i).

La terna (Omega, A, P) si chiama Spazio di Probabilita. Se Omega e finito con #Omega = N elementi equiprobabili e A = 2^Omega = P(Omega), lo spazio di probabilita uniforme e definito da:

P(A) = #A / #Omega = n deg elementi di A (casi favorevoli) / n deg elementi di Omega (casi possibili), per ogni A sottoinsieme Omega.

Proprieta / Teorema (Proprieta Fondamentali della Probabilita e Dimostrazioni). Siano A, B, A₁, A₂, A₃ appartenente A. Dagli Assiomi 1 e 2 seguono:

1. Complementare e Insieme Vuoto: P(A) = 1 - P(A^c) P(emptyset) = 0.

Dimostrazione: Poniamo B = A^c = Omega \ A. Allora A intersezione B = emptyset e A unione B = Omega. Per gli Assiomi 1 e 2:

1 - P(Omega) = P(A unione B) = P(A) + P(A^c) => P(A) = 1 - P(A^c).

Scegliendo A = Omega (sicche A^c = emptyset), segue P(emptyset) = 1 - P(Omega) = 1 - 1 = 0.

Nota pratica: negli esercizi spesso e molto piu facile calcolare il complementare P(A^c) e fare 1 - P(A^c)!

2. Monotonia: Se A sottoinsieme B, allora P(A) | P(B).

Dimostrazione: Scriviamo B come unione disgiunta B = (A intersezione B) unione (A^c intersezione B). Poiche A sottoinsieme B, vale A intersezione B = A. Quindi:

P(B) = P(A intersezione B) + P(A^c intersezione B) = P(A) + P(A^c intersezione B) >= P(A).

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METODI MATEMATICI E PROBABILISTICI (9 CFU) PROF. MARCO SPADINI - UNIFI

3. Probabilita dell'Unione (Inclusione-Esclusione per 2 e 3 eventi):

P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A n B)

P(A₁ U A₂ U A₃) = P(A₁) + P(A₂) + P(A₃) - P(A₁ n A₂) - P(A₁ n A₃) - P(A₂ n A₃) + P(A₁ n A₂ n A₃).

Dimostrazione per 2 eventi: Sommando P(A) + P(B), l'intersezione A n B viene contata 2 volte. Formalmente, decomponiamo in unione disgiunta A U B = A U (A^c n B) => P(A U B) = P(A) + P(A^c n B). Poiche A^c n B = B \ (B n A), si ha P(B) = P(B n A) + P(A^c n B) => P(A