Problemi con annesse soluzioni Fisica 1

Esercizio 1

Due cilindri omogenei di raggio R e 2R e masse m₁ e m₂, rispettivamente, sono collegati da una barretta rigida di massa trascurabile e lunghezza d, che vincola gli assi dei due cilindri a mantenere fissa la loro distanza. Il sistema si muove lungo un piano inclinato di un angolo rispetto all’orizzontale. Se il moto dei due cilindri è di puro rotolamento:

• Quanto vale il rapporto tra le velocità angolari dei due cilindri?
• Quale velocità assume il sistema dopo aver percorso un tratto di lunghezza L sul piano inclinato, partendo da fermo?
• Determinare l’accelerazione del sistema e la tensione della barretta.
• Se sul cilindro di raggio maggiore agisce anche un momento M ortogonale al foglio e con verso entrante, qual è la condizione per cui è garantito il contatto del cilindro di raggio più piccolo con il piano inclinato?

Esercizio 2

Un blocco di ghiaccio di massa M = 1 kg alla temperatura t_g = 0 °C è mantenuto completamente sommerso in una massa d’acqua a t₀ = 0 °C per mezzo di un filo, ad una distanza h = 1 m dal fondo di un contenitore adiabatico. Il blocco viene colpito verticalmente da un proiettile di piombo di massa m_p = 10 g, temperatura t_p = 20 °C, velocità v_p = 100 m/s e volume trascurabile, che si conficca nel ghiaccio, fermandosi al suo interno. Si trascuri l’attrito viscoso dell’acqua.

Densità ghiaccio = 0.917 g/cm³; densità acqua = 1 g/cm³; calore specifico piombo c_Pb = 130 J/kg K; calore latente fusione ghiaccio = 3.3 × 10⁵ J/kg.

• Quale sarà la velocità del sistema ghiaccio + proiettile subito dopo l’urto?
• Quale massa di ghiaccio si fonderà in seguito all’urto?
• Come varierà, di conseguenza, il volume del blocco di ghiaccio?
• Ipotizzando, per semplicità, che la massa di ghiaccio che si fonde si fonda istantaneamente dopo l’urto, a quale distanza minima dal fondo arriverà il sistema ghiaccio + proiettile?

Esercizio 3

Una macchina termica non completamente reversibile scambia calore con due sorgenti che si trovano alle temperature t₁ = 0 °C e t₂ = 100 °C. La macchina ha un rendimento pari al 20% di quello che avrebbe una macchina termica completamente reversibile operante tra le stesse due sorgenti, e fornisce una potenza media pari a P = 200 W.

• Quanto calore assorbe complessivamente la macchina in un’ora di funzionamento, avendo compiuto n = 275 cicli?
• Calcolare la variazione di entropia del sistema, macchina termica + sorgenti, in un ciclo.
• Se le temperature delle due sorgenti sono note con un’incertezza relativa del 5%, qual è l’incertezza relativa del rendimento della macchina termica non completamente reversibile?

Esercizio 4

Intorno ad un cilindro omogeneo di massa m₂ e raggio R è avvolto un filo inestensibile e di massa trascurabile, filo A, che passa per una puleggia P e che reca all’estremo opposto un contrappeso di massa m₁. Un secondo filo, filo B, inizialmente fissa la posizione dell’asse del cilindro rispetto alla parete.

Inizialmente la lamina di massa m₃ e lunghezza 2L su cui poggia il cilindro è mantenuta fissa da opportuni fermi F e poggia a sua volta su un piano liscio. Il cilindro si trova inizialmente a metà della lamina.

• In queste condizioni iniziali, quanto deve valere la forza di attrito statico, in modulo, direzione e verso, tra cilindro e lamina perché il sistema sia in equilibrio? E quanto valgono, in questo caso, le tensioni dei fili?
• Successivamente il filo B viene tagliato e il cilindro inizia a rotolare senza strisciare sulla lamina, sempre tenuta in posizione fissata mediante i fermi. Determinare la nuova tensione del filo A e la nuova forza di attrito tra cilindro e lamina, modulo, direzione e verso. Attenzione: il centro di massa del cilindro ed il punto del cilindro in cui è applicata la tensione del filo A hanno accelerazioni diverse!
• I fermi F possono sopportare un carico massimo, cioè una forza massima applicata, F_max. Se si pone, per semplicità, m₁ = m₂ = m, qual è il valore massimo di m per cui i fermi non si rompono durante tutto l’esperimento, punti a) e b)?

Esercizio 5

Una massa puntiforme m è agganciata all’estremità di una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo L, che all’altra estremità è fissata ad una parete. La massa m si può muovere senza attrito su un piano orizzontale.

• Qual è il periodo delle oscillazioni della massa m attorno alla posizione di equilibrio? Lo si ricavi possibilmente a partire dalla legge di Newton e dall’espressione della forza elastica.
• Se la massa m e la costante elastica k sono note con un’incertezza relativa pari al 5%, da quale incertezza relativa risulta affetto il valore del periodo delle oscillazioni?
• Se al tempo t = 0 la massa m passa con velocità v₀ dal punto corrispondente alla posizione di equilibrio e se la fase iniziale è da considerarsi nulla, a quale distanza minima dalla parete può arrivare la massa m?
• Ricalcolare la distanza minima dalla parete raggiungibile dalla massa m, che passa con velocità v₀ dalla posizione di equilibrio, con fase iniziale nulla, nel caso in cui essa sia anche carica elettricamente con carica q > 0 e la parete sia uniformemente carica con densità superficiale di carica σ > 0 e quindi generi un campo elettrico uniforme di modulo E = σ/(2ε₀).

Esercizio 6

Una quantità m₁ = 500 g di acqua alla temperatura t₁ = 10 °C viene posta in contatto con una massa m₂ = 500 g di ghiaccio alla temperatura t₂ = -10 °C all’interno di un recipiente adiabatico.

• Determinare la temperatura finale t_f della miscela e la sua composizione.
• Se nella miscela viene ulteriormente introdotta una massa m₃ = 200 g di vapore alla temperatura t₃ = 120 °C, trovare la temperatura finale t’_f della miscela e la sua composizione.

Calori specifici: acqua liquida c_l = 4186 J/(kg K); ghiaccio c_g = 2100 J/(kg K); vapore a volume costante c_v = 1463 J/(kg K).

Calori latenti: di fusione del ghiaccio λ_f = 3.34 × 10⁵ J/K; di condensazione del vapore λ_cond = 2.25 × 10⁶ J/K.

Esercizio 7

Un corpo di massa m = 0.5 kg è lanciato con velocità v₀ = 2 m/s su un piano orizzontale scabro. Nell’istante in cui ha percorso un tratto d = 30 cm la sua velocità è v₀/2.

Supponendo che la forza d’attrito sia costante, determinare:

• Il coefficiente di attrito tra il corpo ed il piano.
• La durata del moto.
• Il lavoro totale della forza di attrito.

Inoltre:

• Se il piano viene inclinato di un angolo α = 30° rispetto all’orizzontale ed il corpo viene lanciato sul piano verso l’alto con la stessa velocità iniziale v₀, quale tratto d’ percorrerà il corpo sul piano prima di arrestarsi?

Esercizio 8

Una massa m = 2 kg si muove lungo la verticale, appesa ad una molla avente costante elastica k = 400 N/m e massa trascurabile. Quando la massa si trova ad una quota h₀ = 1 m rispetto al suolo la molla non è deformata. Supponendo che il moto abbia inizio a tale quota e con velocità iniziale nulla, determinare:

• La legge secondo la quale la velocità v della massa m dipende dalla sua distanza dalla posizione iniziale: v(y).
• La quota minima h_min e la quota massima h_max raggiunte dalla massa m nel suo moto.

Si supponga ora che, raggiunta la quota minima, la massa m si sganci dalla molla. Raggiunto il suolo, si supponga che lo urti in modo anelastico, perdendo il 75% della sua energia cinetica. In queste condizioni:

• Quale altezza h’ rispetto al suolo raggiungerà la massa m dopo l’urto?

Esercizio 9

Un liquido ideale di densità ρ = 1.1 g/cm³ fluisce in un tubo orizzontale di raggio interno r₁ = 2 cm. Il tubo piega verso l’alto fino a coprire un dislivello di h = 10 m, poi si allarga e si congiunge con un altro tubo orizzontale di raggio interno r₂ = 6 cm. Quale deve essere la sua portata se la pressione nel tratto orizzontale a quota più alta è di 1000 Pa inferiore alla pressione nel tratto orizzontale a quota più bassa?

Esercizio 10

Una macchina termica che funziona in modo irreversibile assorbe in ogni ciclo una quantità di calore Q₂ = 18000 J da una sorgente alla temperatura T₂ = 500 K e cede calore a una sorgente alla temperatura T₁ = 300 K. La variazione di entropia delle sorgenti in ogni ciclo è ΔS = 7.5 J/K.

Determinare:

• Il lavoro prodotto in ogni ciclo.
• La differenza tra il rendimento di tale macchina irreversibile e quello di una macchina di Carnot reversibile operante con le medesime sorgenti.
• L’incertezza assoluta del rendimento del ciclo di Carnot di cui al punto b), se l’incertezza relativa delle temperature delle due sorgenti è 0.1.

Esercizio 11

In un lago, una barca di massa M = 100 kg si muove in direzione sud con una velocità costante di modulo v₀ = 2 m/s. A bordo si trovano il barcaiolo, di massa m_b = 80 kg, ed un carico composto da tre pacchi, ciascuno di massa m_p = 10 kg.

Determinare:

• La nuova velocità della barca v₁, in modulo, direzione e verso, immediatamente dopo che il barcaiolo ha gettato uno dei pacchi in direzione nord con una velocità iniziale v_p in modulo pari a 2 m/s rispetto ad un osservatore esterno.

Successivamente, il barcaiolo getta i restanti due pacchi in direzione ovest, con una velocità iniziale v’_p in modulo pari a 2 m/s rispetto ad un osservatore esterno. Determinare:

• La nuova velocità della barca, v₂, in modulo, direzione e verso.

Esercizio 12

Un cilindro di raggio R₁ = 10 cm e altezza H = 10 cm, un disco sottile di raggio R₂ e un anello sottile di raggio R₃ rotolano senza strisciare lungo un piano inclinato di 30° rispetto all’orizzontale, partendo contemporaneamente dalla stessa quota.

• Se avessero tutti e tre la stessa massa, in quale ordine temporale i tre oggetti arriverebbero al fondo del piano inclinato?
• Per quali valori di R₂ e R₃ i tre oggetti arriverebbero ad avere la stessa velocità angolare rispetto al proprio centro di massa dopo aver percorso un tratto di lunghezza L = 1 m sul piano inclinato?

Esercizio 13

In un tubo ad U di sezione S = 50 cm² è presente una massa di acqua. Sulle due superfici libere dell’acqua sono posti due dischetti di sughero, di massa e spessore trascurabili. Il sistema si trova inizialmente in equilibrio. Successivamente una moneta di massa m = 50 g viene appoggiata su uno dei dischi di sughero. Trascurando gli attriti, determinare:

• L’accelerazione della moneta in funzione dello spazio percorso x.
• La massima altezza x_M raggiunta dall’altro disco di sughero, rispetto alla sua iniziale posizione di equilibrio.

Facoltativo

Se invece la moneta viene lasciata cadere da un’altezza h = 10 cm rispetto ad uno dei dischi di sughero:

• Determinare la massima altezza x_M raggiunta dall’altro disco di sughero, rispetto alla sua iniziale posizione di equilibrio, si trascurino l’attrito dell’aria e la dissipazione di energia durante l’urto completamente anelastico tra moneta e sughero.

Esercizio 14

Una macchina termica reversibile lavora tra due sorgenti termiche, una costituita dall’ambiente a t₁ = 17 °C e l’altra da una grande massa di stagno fuso alla temperatura t₂ = 267 °C di fusione. Ad ogni ciclo della macchina termica solidificano 10 grammi di stagno, viene scambiato il lavoro W, viene scambiato il calore Q₁ con la sorgente a t₁ e viene scambiato il calore Q₂ con la sorgente a t₂.

Calcolare:

• Il valore del calore Q₁ e Q₂ scambiati dalla macchina termica in un ciclo con le due sorgenti termiche, calore di fusione/solidificazione dello stagno: λ_F = 5.86 × 10⁴ J/kg.
• Il valore del lavoro W.
• La variazione di entropia subita dal sistema termodinamico formato dall’insieme della macchina termica e dalle due sorgenti termiche durante un ciclo.

Esercizio 15

All’interno di un montacarichi che si muove verso l’alto è presente un piano scabro, inclinato di un angolo α = 30° rispetto all’