Problema di analisi complessa 9

Problemi di analisi complessa matematica proposti dal Dott. Ing. Pasquale Cutolo

Problema n. 1p

Partendo dalla relazione dei complementi:

π Γ(z) Γ(1 − z) = π / Sin(πz), 0 < z < 1,

e ponendo z = x/2, (x reale), dimostrare che:

π ∫₀^∞ Cosh(ux) / Cosh(u/2) du = π / Cos(πx/2), −1 < x < 1. (1p)

Risoluzione

Punto 1

Utilizzando la seguente relazione dei complementi:

π Γ(z) Γ(1 − z) = π / Sin(πz), 0 < z < 1

e ponendo z = x/2, (x reale), otteniamo:

Γ(x/2) Γ(1 − x/2) = π / Cos(πx/2), −1 < x < 1. (1p.1)

Essendo:

Γ(z) = ∫₀^∞ t^{z − 1} e^−t dt,

la ben nota funzione di Eulero di seconda specie.

Γ(x/2) Γ(1 − x/2) = ∫₀^∞ t^{x/2 − 1} e^−t dt ∫₀^∞ t^{1 − x/2 − 1} e^−t dt

= ∫₀^∞ t^{x/2 − 1} e^−t dt ∫₀^∞ t^−x/2 e^−t dt

= ∫₀^∞ e^{−u(x/2 − 1/2)} du ∫₀^∞ e^{−u(x/2 + 1/2)} du

= ∫₀^∞ e^{−u(x/2 − 1/2)} e^{−u(x/2 + 1/2)} du

= ∫₀^∞ e^−ux / (e^−u/2 + e^u/2) du + ∫₀^∞ e^ux / (e^−u/2 + e^u/2) du

= ∫₀^∞ Cosh(ux) / Cosh(u/2) du = π / Cos(πx/2), −1 < x < 1. (1p.2)