Geometria e algebra lineare

Parte B dell’esame di Geometria e algebra lineare

Durata: 90’. Politecnico di Milano – A.A. 2022/23 – 15 gennaio 2024.

Docente: Cognome: Nome: Matricola:

Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. I compiti privi di indicazione leggibile di nome e cognome non verranno corretti.

Esercizio 1

[Punteggio: 2, 1, 3]

00 111BB CC1BB CC 4R L ✓ Considerare il sottospazio U = .@@ AA10

a) Determinare una equazione cartesiana di U. ? 4R ✓

b) Determinare una base del complemento ortogonale U. ?

c) Determinare le proiezioni ortogonali P_U(v) e P_U^t(v) del vettore v = (1, 1, 1, 1) sui sottospazi U e U. ?

U U1 X

a) EE CARTESIANA ED. y x0 => -> XzO -W0 3)28), Ö), ()(dimUt - din()but k(1 10) 4 ==- = ~ Ut -byA

SEB DI is2U1) DIU CALCOLARO UNA =D.0.n.svbe -4be, Po(r) = -= = "s Pu+Put Id-PrPut Id >= DALLA TEORIA SAPPLAMO == => i5:nv-PoM=Potty += 213- 1 UTE APPLICARE POI: 8 POTEVATE G-S UNA TROVARE USARE PER B.0.4. DI ANCHE Ut SULA ORTOCONALE FORMULA PELLA PROIEZ.

Esercizio 2

[Punteggio: 1, 3, 2, 1, 2]

B {b}, ! Sia V uno spazio vettoriale con base =, b, b e sia L : V V un endomorfismo tale che 1 2 3

L(b₁) = kb₁ + b₂, L(b₂) = b₂, L(b₃) = 2b₂ + b₃,

R2 dove k è un parametro. B B.

a) Determinare la matrice A = M_B(L) che rappresenta L rispetto alla base B.

b) Determinare i valori di k per cui L è un endomorfismo diagonalizzabile.

c) Posto k = 0, determinare autovalori e autospazi della matrice A.

d) Posto k = 0, determinare autovalori e autospazi dell’endomorfismo L.

2024

e) Posto k = 0, calcolare A²v dove v = (1, 1, 1).

[((b)3([h(by)SB 2

a) 0MBCL= /(Er(be)), A: = xxI) x)]x)[(-1 - 2xt(A 1Py(x)b) =x)(x(1=- -- -= X2 1=-xz k=kF 1,1 SONO SEMPLICI=- REGOLARI- E' DIAGONA4ZZABILE => k 1= 000

KnKer(A- dinI)den (1)(1) 2. ma.=n. 1-22 === 000 DAGONALIZZABILE => k 1=- 000 1)I)() ma)Am.g. 13-RR 3-in = +102= + = -002 NON DIAGONALIZZABILE => 000- A40)) = 121 DIVIENERA44-K LA M.PER -0= 00 12,07(1, AUTO SPA21:GLIa(L) E= - 0 2 b3>V b2=22) Knx