Geometria e algebra lineare

Geometria e algebra lineare

Primo appello

Docenti: E. Rodaro, A. Frigeri, A. Ratti Claris 23 gennaio 2023

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Parte A - Test

Rispondere ai seguenti quesiti a scelta multipla, ponendo una croce sull’affermazione che si ritiene corretta. Per ogni domanda solo una delle quattro alternative è corretta. Tempo massimo a disposizione: 45 minuti.

Domanda 1

00 1 0 11 0 11 1 2@@ A @ AA @ A2 L 2 1 11) Sia A M (R) . Sapendo che Col(A) = , e b = , il sistema lineare Ax = b3,4 3 1 4

• Ammette un’unica soluzione.
• È impossibile.
• Ammette infinite soluzioni che dipendono da due pa- rametri.
• Ammette infinite soluzioni che dipendono da un solo parametro.

Domanda 2

0 1 0 1 0 11 1x@ A @ A @ Ay 0 12) Le rette r : = + t , ed s : x + y 1= y + z 1 = 0 , sono:z 1 1

• Parallele distinte.
• Parallele coincidenti.
• Sghembe.
• Incidenti in un solo punto.

Domanda 3

00 1 0 1 11 1BB C B C C1 1BB C B C C 4 4R RL3) Sia U = , . Per quale dei seguenti sottospazi W di si ha = U W ?@@ A @ A A1 11 10 0 11 00 1 0 11 00 1 0 11 0 0 1 0 1 0 1 11 0 1 0 0 1 1 1B B CC BB C B CC BB C B CC B B C B C B C C1 2 1 0 0 1 1 1B B CC BB C B CC BB C B CC B B C B C B C CL L L L

W= . W= , . W= , . W= , ,@ @ AA @@ A @ AA @@ A @ AA @ @ A @ A @ A AA B C D1 0 1 1 0 1 1 11 2 1 0 1 1 1 1

Domanda 4

R B {v } !4) Sia V uno spazio vettoriale su e := , v , v una sua base. Sia T : V V un endomorfismo definito da1 2 3

T (v ) = v + v , T (v ) = v v , T (v ) = v1 1 2 2 1 2 3 1

Allora si ha che

• ker(T ) = T (v + v 2v )
• ker(T ) = T (v + v )
• ker(T ) = T (v v )
• ker(T ) = {0}

1 2 3 1 2A B 1 2C D !

Domanda 5

5) Sia V uno spazio di dimensione finita. L’endomorfismo T : V V è tale per cui Im(T ) = ker(T ) . Allora

• dim(V ) è un intero positivo dispari.
• dim(V ) può essere un qualsiasi intero positivo.
• dim(V ) è un intero positivo pari o nullo.
• dim(V ) può essere solo 0 .

A B C D2 2R R!

Domanda 6

6) Si sa che gli endomorfismi T : dipendenti dal parametro reale k hanno due autovalori distinti 1, 2 conk

autospazi ◇ ◇1 kL LV = , V =1 21 k +1

Allora T è ortogonalmente diagonalizzabile se e solo se k è uguale ak R R2 2

• k =1
• k = 1/2
• Per nessun k
• Per ogni k

A B C D0 0 1 0 11 0 0 1 101 0@ @ A @ AA @ @ A A3 3R R! L L1 1 0

Domanda 7

7) Sia T : un endomorfismo tale per cui , è l’autospazio di T associato a 2 e1 1 1

è l’autospazio di T associato a 3 . Allora

00 11 0 1 00 11 0 1 00 11 0 1 0 0 1 1 0 11 2 1 4 1 7 1 7@@ AA @ A @@ AA @ A @@ AA @ A @ @ A A @ A2 4 2 7 2 2 2 4

T = T = T = T =A B C D3 7 3 2 3 4 3 20 11@ A1

Domanda 8

8) La retta ortogonale al piano 2x + y z = 1 e passante per il punto P = ha equazioni cartesiane

2x y = 2x z = 0 x 2y = z + y = 0A B

x z +1= x + y 2=0 x 2y + 1 = y + z 3=0C D

Domanda 9

h i) 29) Sia (V, , uno spazio euclideo. Siano v, w V tali che

p pkvk kwk hv,= 3, = 5, wi = 3

Allora p p p pkv kv kv kv2wk = 23