Geometria e algebra: esercizi svolti su autovalori e diagonalizzazione

Matrice A

(i) Matrice A. A =: (n) def 1 A-11) spettro, lo det trovare 0.

Risolvo = 0 =: per · 1) x ((x [xx)] (1 -1) [(n (0 1) 13 3x) 4) 1) x) (2 (x) (x) 4) la x).

Sviluppo lungo (n (n (1( 3x 3x + 0 101 = + = = riga 1 0n = = =: + - ---- -- .. -- --- -- autovalori (X-3)X).

Ottengo spettro > (1 40 34 Lo = 13-3/n X 11 x = è 1 S-0 10 : = = = 303 ===- =1. -. - · - .5. ..

alg Molteplicità: radici tutte distinte, poiché ma(3) ma lo) ma(1) 111: = = = sono · Molt allora.

Poiché 11 = ma = my: geom., matrice diagonalizzabile. La matrice A ha autovalori distinti perché è 3 ·.

Calcolo degli autospazi

Calcolo gli autospazi risolvendo (A-1 Il v # / = 0 · t11.

Per 1 = - 1 Xz. Per 0 = - 13. Per 3 = -.

Matrice B

Matrice B. B =: (1 B-1) det spettro, lo calcolo = 0 =: · la (e-x) [(2-1)" 2) x) x))) 1(o 4 (2).

Sviluppo ((x) (a (c1(a x) 4x = riga 0 prima + 0 = = ++- -- - - -. -1)(x1) x) (x x) (x(2 (2 3) 4x 0 = + +1 = = 0=--- --.

Quindi, X 1312 3 = = = c., alg Molt 1 =.: ma ·. Molt 1: = grom mg ·.

Gli autovalori sono distinti, allora la matrice è diagonalizzabile e gli autovalori reali in IR3 sono 3 ·.

Calcolo autospazi

Calcolo autospazi: · 1200L. Es alle variabile libera fiso- =- come span((81)N EzLe Y 1 X 2 =2 = = = pango- I Gior3) t = x 0( - +=.

span(E) = Pango x Es1 1 ax- = = + 1 =- x= == ·

Autovalori di 2A-A^T

Dobbiamo trovare autovalori 2A-A^T (autorettori gli matrici F(A)X XA+ XAle A ==. : = ce.

Autovalori: studio gli A ZA^T XA2A = ·: = - sostituisco 1)A)"(A^T)"(A^T)" trasposta entrambi ((2 x)A] la 1).

Applico ((n x)A" 1)( (eA(2 membri A AA perché A= c == =-ia == == .- =- - --.

A questo punto A sol autoret contrario (2-11" def l'unica possibile sarebbe poiché nullo che A sappiamo 1 in = può ma o, caso per ess. = non m.X-.

Caso 11 1 1: =2 ==- X= 3x. Caso 12 3==2: -- -.

A questo punto forniamo (2-x)A all'equazione A A^T := diventa (2-1)A l'autospazio.

Matrici simmetriche e antisimmetriche

Quindi mat A A^T l'eq mat tutte simmetriche queste X di le simmet A l'insieme def è le 1 En=-se == == per cono .. ...

Diventa (2 - 3)A antisimmetriche l'artospazio mat antisimmmat tutte l'eq A^T. Quindi queste A" di le l'insieme X A def Le è le Es3= =- = .per= cono .= - . ..

Dimostrazione sulla diagonalizzabilità

diagonaliz dimost. Dobbiamo dim autospazi dim dello Fot. Per delle alla verificare la che F vett. dei uguale è è spazio noi comma se ... .

Teoria. Lo dim questo matrici tutte vett. dim (Mnin) dice partenza di lan(R) La Mn l'insieme di che di ele cioè.