Eserciziario svolto Curve e superfici per il design

POLITECNICO DI MILANO — DESIGN DEL PRODOTTO INDUSTRIALE

Eserciziario Completo Graduato

Geometria

Computazionale

135 esercizi svolti passo-passo — dalla base all'avanzato

Vettori geometrici ed algebrici — 34 esercizi

MODULO 1 Modulo, versore, prodotto scalare, vettoriale, misto, proiezioni, angoli

Rette e piani nello spazio — 25 esercizi

MODULO 2 Forma parametrica, cartesiana, normali, distanze, posizioni reciproche

Trasformazioni geometriche — 27 esercizi

MODULO 3 Matrici, rotazione, traslazione, scaling, riflessione, coordinate omogenee, proiezioni

Curve e superfici parametriche — 24 esercizi

MODULO 4 Tangente, curvatura, lunghezza d'arco, superfici notevoli, normale

Bézier, B-spline e NURBS — 25 esercizi

MODULO 5 Bernstein, De Casteljau, tangenti, combinazioni baricentriche, vettore dei nodi

Totale esercizi: 135 — ogni esercizio ha soluzione completa con passaggi dettagliati. I livelli sono indicati

con colori: BASE (verde), INTERMEDIO (ambra), AVANZATO (corallo).

Eserciziario Geometria Computazionale — Polimi · pagina 1

MODULO 1

Vettori geometrici ed algebrici

Modulo, versore, prodotto scalare, vettoriale, misto, proiezioni, angoli

LIVELLO ESERCIZI DESCRIZIONE

BASE 16 Esercizi introduttivi per familiarizzare con i concetti

INTERMEDIO 11 Esercizi che richiedono combinare più concetti

AVANZATO 7 Esercizi complessi tipici dell'esame

LIVELLO BASE

Esercizi introduttivi per familiarizzare con i concetti

Esercizio 1.1

Dati u = (1, 2, 3) e v = (4, 5, 6), calcola u + v.

Soluzione:

Somma componente per componente:

u + v = (1+4, 2+5, 3+6) = (5, 7, 9)

Risposta: (5, 7, 9)

Esercizio 1.2

−1, −

Dati u = (2, 3) e v = (−1, 4, 2), calcola u v.

Soluzione:

Sottrazione componente per componente:

− −1−4, −5,

u v = (2−(−1), 3−2) = (3, 1)

−5,

Risposta: (3, 1)

Esercizio 1.3 −1,

Calcola 3·v con v = (2, 4).

Soluzione:

Moltiplicazione di ogni componente per 3:

−3,

3v = (6, 12)

−3,

Risposta: (6, 12)

Esercizio 1.4

−1, −

Dati u = (2, 3) e v = (−1, 4, 2), calcola 3u 2v.

Soluzione:

−3,

3u = (6, 9); 2v = (−2, 8, 4)

− −3−8, −11,

3u 2v = (6−(−2), 9−4) = (8, 5)

−11,

Risposta: (8, 5) Eserciziario Geometria Computazionale — Polimi · pagina 2

Esercizio 1.5

Calcola il modulo del vettore v = (3, 4, 0).

Soluzione:

12 22 32

√(v

|v| = + v + v )

√(9 √25

|v| = + 16 + 0) = = 5

Risposta: 5

Esercizio 1.6 −2,

Calcola |v| con v = (1, 2).

Soluzione:

√(1 √9

|v| = + 4 + 4) = = 3

Risposta: 3

Esercizio 1.7

Calcola |v| con v = (−2, 3, 6).

Soluzione:

√(4 √49

|v| = + 9 + 36) = = 7

Risposta: 7

Esercizio 1.8

Calcola la distanza tra A = (0,0,0) e B = (1, 2, 2).

Soluzione:

−

AB = B A = (1, 2, 2)

√(1 √9

|AB| = + 4 + 4) = = 3

Risposta: 3

Esercizio 1.9 −1).

Distanza tra P = (1, 2, 3) e Q = (4, 0,

Soluzione:

− −2, −4)

PQ = Q P = (3,

√(9 √29 ≈

|PQ| = + 4 + 16) = 5.385

√29 ≈

Risposta: 5.385

Esercizio 1.10

Trova il versore di v = (3, 0, 4).

Soluzione:

√(9

|v| = + 0 + 16) = 5

v = v/|v| = (3/5, 0, 4/5) = (0.6, 0, 0.8)

Risposta: (0.6, 0, 0.8)

Esercizio 1.11 −1,

Trova il versore di v = (2, 2).

Soluzione:

√(4

|v| = + 1 + 4) = 3

−1/3,

v = (2/3, 2/3)

−1/3,

Risposta: (2/3, 2/3) Eserciziario Geometria Computazionale — Polimi · pagina 3

Esercizio 1.12

Calcola u · v con u = (1, 2, 3) e v = (4, 5, 6).

Soluzione:

u · v = u v + u v + u v

1 1 2 2 3 3

u · v = 1·4 + 2·5 + 3·6 = 4 + 10 + 18 = 32

Risposta: 32

Esercizio 1.13 −1) −1,

Calcola u · v con u = (1, 2, e v = (3, 2).

Soluzione: − − −1

u · v = 1·3 + 2·(−1) + (−1)·2 = 3 2 2 =

−1

Risposta:

Esercizio 1.14 −1,

Calcola u · v con u = (2, 3) e v = (−1, 4, 2).

Soluzione: −2 −

u · v = 2·(−1) + (−1)·4 + 3·2 = 4 + 6 = 0

Quindi u e v sono perpendicolari!

⊥

Risposta: 0 (u v)

Esercizio 1.15

Calcola u × v con u = (1, 0, 0) e v = (0, 1, 0).

Soluzione: −u −u −u

u × v = (u v v , u v v , u v v )

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

= (0·0−0·1, 0·0−1·0, 1·1−0·0) = (0, 0, 1)

I versori canonici danno: i × j = k

Risposta: (0, 0, 1)

Esercizio 1.16

Calcola u × v con u = (1, 2, 3) e v = (4, 5, 6).

Soluzione:

u × v = (2·6−3·5, 3·4−1·6, 1·5−2·4)

−3)

= (12−15, 12−6, 5−8) = (−3, 6, −3 − ✓

Verifica: u·(u×v) = 1·(−3) + 2·6 + 3·(−3) = + 12 9 = 0

−3)

Risposta: (−3, 6,

LIVELLO INTERMEDIO

Esercizi che richiedono combinare più concetti

Esercizio 1.17 −1)

Trova t tale che u = (t, 2, sia perpendicolare a v = (1, t, 3).

Soluzione:

Imponi u · v = 0: −

u · v = t·1 + 2·t + (−1)·3 = 3t 3

− ⇒

3t 3 = 0 t = 1

Risposta: t = 1 Eserciziario Geometria Computazionale — Polimi · pagina 4

Esercizio 1.18 −4)

Trova k tale che u = (k, 3, abbia modulo 6.

Soluzione:

2 2

|v| = k + 9 + 16 = 36

2 ⇒ ≈

k = 11 k = ±√11 ±3.317

Risposta: k = ±√11

Esercizio 1.19

Per quale k il vettore (1, k, 2) è parallelo a (2, 6, 4)?

Soluzione: λ·(2, λ

Parallelismo: (1, k, 2) = 6, 4) per qualche

⇒ λ

Dalla prima componente: 1 = 2λ = 1/2

Dalla seconda: k = 6·(1/2) = 3

✓

Verifica terza: 2 = 4·(1/2) = 2

Risposta: k = 3

Esercizio 1.20

Calcola il coseno dell'angolo tra u = (1, 1, 0) e v = (1, 0, 1).

Soluzione:

u · v = 1 + 0 + 0 = 1

√2; √2

|u| = |v| =

θ √2)

cos = 1 / (√2 · = 1/2

θ = 60° θ θ

Risposta: cos = 1/2, = 60°

Esercizio 1.21 −1) −1,

Trova l'angolo tra u = (1, 2, e v = (3, 2).

Soluzione: − − −1

u · v = 3 2 2 =

√6; √14

|u| = |v| =

θ −1 √84 ≈ −0.1091

cos = /

θ ≈

= arccos(−0.1091) 96.3°

θ ≈

Risposta: 96.3°

Esercizio 1.22

Calcola la proiezione scalare di a = (3, 1, 2) su b = (1, 0, 1).

Soluzione:

Proiezione scalare: (a · b) / |b|

a · b = 3 + 0 + 2 = 5

√2

|b| = ≈

Risultato: 5/√2 = 5√2/2 3.536

≈

Risposta: 5/√2 3.536 Eserciziario Geometria Computazionale — Polimi · pagina 5

Esercizio 1.23

Calcola la proiezione vettoriale di a = (3, 1, 2) su b = (1, 0, 1).

Soluzione: 2

Proiezione vettoriale: (a · b / |b| ) · b

2

a · b = 5; |b| = 2

(5/2) · (1, 0, 1) = (5/2, 0, 5/2) = (2.5, 0, 2.5)

Risposta: (2.5, 0, 2.5)

Esercizio 1.24

Calcola l'area del parallelogramma generato da u = (1, 0, 0) e v = (0, 1, 0).

Soluzione:

Area = |u × v|

u × v = (0, 0, 1)

|u × v| = 1

Risposta: 1

Esercizio 1.25

Area del triangolo con vertici A = (0,0,0), B = (2,0,0), C = (0,3,0).

Soluzione:

AB = (2, 0, 0); AC = (0, 3, 0)

AB × AC = (0·0−0·3, 0·0−2·0, 2·3−0·0) = (0, 0, 6)

|AB × AC| = 6

Area = 6/2 = 3

Risposta: 3

Esercizio 1.26

Calcola l'area del parallelogramma generato da u = (1, 2, 0) e v = (0, 3, 4).

Soluzione: − − − −4,

u × v = (2·4 0·3, 0·0 1·4, 1·3 2·0) = (8, 3)

√(64 √89 ≈

|u × v| = + 16 + 9) = 9.434

√89 ≈

Risposta: 9.434

Esercizio 1.27 −1, −1).

Trova un vettore perpendicolare sia a u = (1, 0) che a v = (0, 1,

Soluzione:

Il prodotto vettoriale u × v è perpendicolare a entrambi:

u × v = ((−1)(−1)−0·1, 0·0−1·(−1), 1·1−(−1)·0) = (1, 1, 1)

✓; ✓

Verifica: u·(1,1,1) = 1−1+0 = 0 v·(1,1,1) = 0+1−1 = 0

Risposta: (1, 1, 1) o multipli

LIVELLO AVANZATO

Esercizi complessi tipici dell'esame

Eserciziario Geometria Computazionale — Polimi · pagina 6

Esercizio 1.28

Calcola il prodotto misto [u, v, w] con u = (1,0,0), v = (0,1,0), w = (1,1,1).

Soluzione:

[u,v,w] = det | 1 0 0 |

| 0 1 0 |

| 1 1 1 |

Sviluppo lungo la prima riga:

− −

= 1·(1·1 0·1) 0 + 0 = 1

Volume del parallelepipedo = |1| = 1

Risposta: 1

Esercizio 1.29

Verifica se u = (1,2,3), v = (2,4,6), w = (0,1,0) sono complanari.

Soluzione:

Nota: v = 2·u, quindi u, v sono paralleli.

[u,v,w] = det | 1 2 3 |

| 2 4 6 |

| 0 1 0 | − −6

Sviluppo prima riga: 1·(0−6) 2·(0−0) + 3·(2−0) = + 0 + 6 = 0

⇒ ✓

[u,v,w] = 0 i tre vettori sono complanari

Risposta: Sì, complanari

Esercizio 1.30

Volume del parallelepipedo su u=(1,0,2), v=(3,1,0), w=(0,2,1).

Soluzione:

[u,v,w] = det | 1 0 2 |

| 3 1 0 |

| 0 2 1 | − − −

= 1·(1·1 0·2) 0 + 2·(3·2 1·0)

= 1·1 + 2·6 = 1 + 12 = 13

Volume = |13| = 13

Risposta: 13

Esercizio 1.31 −1)

Il vettore v = (a, 2, è perpendicolare a (1, 1, 1). Trova a e poi calcola |v|.

Soluzione: −

Condizione: v · (1,1,1) = a + 2 1 = a + 1 = 0

−1

a = −1); √(1 √6 ≈

v = (−1, 2, |v| = + 4 + 1) = 2.449

−1, √6

Risposta: a = |v| = Eserciziario Geometria Computazionale — Polimi · pagina 7

Esercizio 1.32

−2, √5.

Dati u = (1, 0) e v = (0, 1, 1), trova un vettore w tale che w sia perpendicolare a u e abbia |w| =

Soluzione:

Primo: trovare un vettore perpendicolare a u.

− − − −1,

u × v è perpendicolare a u: u × v = (−2·1 0·1, 0·0 1·1, 1·1 (−2)·0) = (−2, 1)

√(4+1+1) √6

|u × v| = =

√5: √5/√6 −1, −√5/√6, √5/√6)

Per avere |w| = w = · (−2, 1) = (−2√5/√6,

−1/√(6/5),

Semplifica: (−2/√(6/5), 1/√(6/5))

−1,

Risposta: w = (√5/√6)·(−2, 1)

Esercizio 1.33

Calcola l'angolo tra le diagonali di un cubo unitario (vertici (0,0,0) e (1,1,1), e (1,0,0)-(0,1,1)).

Soluzione: −

Diagonale 1: d = (1,1,1) (0,0,0) = (1, 1, 1)

1 −

Diagonale 2: d = (0,1,1) (1,0,0) = (−1, 1, 1)

2

−1

d · d = + 1 + 1 = 1

1 2

√3; √3

|d | = |d | =

1 2

θ ⇒ θ ≈

cos = 1/3 = arccos(1/3) 70.53°

θ ≈

Risposta: 70.53°

Esercizio 1.34

Decomponi il vettore v = (2, 3, 1) come somma di un vettore parallelo a u = (1, 0, 1) e uno perpendicolare.

Soluzione: 2

Componente parallela: v_ // = (v·u/|u| ) · u

2

v · u = 2 + 0 + 1 = 3; |u| = 2

v_ // = (3/2)·(1, 0, 1) = (3/2, 0, 3/2) −

Componente perpendicolare: v_⊥ = v v_ //

− − − −1/2)

v_⊥ = (2 3/2, 3 0, 1 3/2) = (1/2, 3,

− ✓

Verifica: v_⊥ · u = 1/2 + 0 1/2 = 0 −1/2)

Risposta: v_ // = (3/2, 0, 3/2), v_⊥ = (1/2, 3,

Eserciziario Geometria Computazionale — Polimi · pagina 8

MODULO 2

Rette e piani nello spazio

Forma parametrica, cartesiana, normali, distanze, posizioni reciproche

LIVELLO ESERCIZI DESCRIZIONE

BASE 12 Esercizi introduttivi per familiarizzare con i concetti

INTERMEDIO 8 Esercizi che richiedono combinare più concetti

AVANZATO 5 Esercizi complessi tipici dell'esame

LIVELLO BASE

Esercizi introduttivi per familiarizzare con i concetti

Esercizio 2.1 −1).

Scrivi la forma parametrica della retta per A = (1, 0, 2) e B = (3, 4,

Soluzione: − −3)

Direzione: d = B A = (2, 4,

−

r(t) = A + t·d = (1 + 2t, 4t, 2 3t)

−

Risposta: r(t) = (1 + 2t, 4t, 2 3t)

Esercizio 2.2 −1,

Trova il vettore direzione della retta per A = (1, 2) e B = (3, 0, 1).

Soluzione:

− −1)

d = B A = (3−1, 0−(−1), 1−2) = (2, 1,

−1)

Ri