Esercizi svolti di Elettrotecnica sul regime transitorio - Parte 3

C.d.L. in Ingegneria Industriale

Prova scritta di ELETTROTECNICA del 25-9-2023

1. Si calcoli la corrente i₀(t) della rete elettrica di figura 1 per t >= 0 s, sapendo che detta rete si trovava a regime prima dell'apertura dell'interruttore K, la quale avviene al tempo t = 0 s.

R = 4 Ω, L₁ = 1 H, L₂ = 2 H, v_g(t) = 54 V, α = 2.

Figura 1.

1)

R = 1 ohm, L1 = 1 H,L2 = 2 H, a = 2Vf(t) = 5u V

(2R -R 0) (i_L1(0)) (Vf)(-R 2R 0) (i_L2(0)) = (0)(0 0 R) (i₀(0)) (-a (i_L1(0) + i_L2(0)) R)

3 i_L2(0) = Vf / R     i_L2(0) = 1/3 * 5/1 = 9/2 A

2 i_L1(0) = 5/1 + 9/2 = 72/4     i_L1(0) = 72/8 = 9 A

i₀(0^-) = -2 (1 + 9/2 - 9) = 9 A ≠ i₀(0⁺) = 81/8 A

i_L1(0) = 1 + i₀(0⁺) = 18 A     i_L2(0) = i₀(0) + 1 = 9 + 9/2 = 3 · 9/2 = 27/2 A

L1 di_L1/dt = Vf - R (i_L1 - i₀) + R (i_L2 - i_L1)

L2 di_L2/dt = - R (i_L2 - i_L1) - R (i_L2 - i₀) - R (i_L2 - i₀)

di_L1/dt = - 1/L1 2R i_L1 + R/L1 i_L2 + R/L1 i₀ + V_f/L1

di_L2/dt = 1/L2 R i_L1 - 3R/L2 i_L2 + 2R/L2 i₀

4R i₀ - R i_L1 - 2R i_L2 = -V_g - alpha R (i_L2 - i_L1)

i₀ = 1/(4R) [-V_f + (-alpha R + 2R) i_L2 + (R + alpha R) i_L1] =

= -27/8 + 3/4 i_L1

di_L1/dt = -8 i_L1 + 2 i_L2 + 4 * 3/4 i_L1 + 5A - 4 * 27/8 =

= -5 i_L1 + 2 i_L2 + 3/2

di_L2/dt = 2 i_L1 - 6 i_L2 + 4 * 3/4 i_L1 - 4 * 27/8 =

= 5 i_L1 - 6 i_L2 - 27/2

| -5 - lambda    2 |

| 5    -6 - lambda | = det(A - lambda I₂) = 30 - 20 + lambda² + 11 lambda =

= lambda² + 11 lambda + 10

lambda = (-11 +/- sqrt(121 - 4*10))/2 = -10, -1

(di_L1/dt)_t=0 = -5 * 18 + 2 * 27/2 + 3/2 = 9/2 A s^-1

i₀(t) = k₁ e^-t + k₂ e^-10t + i_0p

-2 i_L2p = -81/2 + 27/2 = -27    i_L2p = 27/2 A

5 i_L1p = 4 * 27/2 + 3 * 27/2 = 7 * 27/2

i_L1p = 189/10 A

i_ep = -27/8 + 3/4 189/10 = 1/8 (-27 + 567/5) = 1/8 1/5 (-135 + 567) =

= 1/40 432 = 108/10 = 54/5 A

(di₀/dt)_t=0 = 3/4 (9/2) = 27/8 A/s

i₀(0) = -27/8 + 3/4 18 = (-27 + 108)/8 = 81/2 A

21/2 = K₁ + K₂ + 54/5

27/8 = -K₁ - 10K₂ = -9K₂ + 54/5 - 21/2

K₂ = 1/9 (54/5 - 21/2 - 27/2) = 1/9 (8.54 - 5.108)/40 = -102/40 1/9 = -3/10 A

K₁ = 81/2 - 54/5 + 3/10 = (81.5 - 8.54 + 12)/40 = -3/2 A

i₀(t) = -3/2 e^-4t - 3/10 e^-10t + 54/5 A

(8+p -4 -4) (I₁) = (54/p + 18)

(-4 12+2p -8) (I₂) = (27)

(-4 -8 16) (I₀) = (

-54/p - 2/7 (I₂-I₁))

Delta = (-4)(4):2

(2 + p/4 -2 1

-1 6+p 2

-3 0 -4) = (-32)(-1)(p²+11p+10)

Delta₃ = (4)(2) 9/p 3

(2 + p/4 -2 2 + 2p/3

-1 6+p p

-3 0 -2) =

= 24? / p [2(2+3p) + (6+p)(2+p/4)(-2) + (6+p)3.2(1+p/?)] =

= 249/p [4 + 6p -24 -3p -4p - p²/2 + 36 + 12p + 6p + 2p²] =

= 24? / p (3/2 p² + 17p + 16)

I₀(p) = 27/8 + (3p²+34p+32)/(p²+11p+10) = A/p + B/(p+1) + C/(p+10)

A = I₀(p).p |_p=0 = 27/8 . 32/10 = 5/4 A

B = I₀(p).(p+1) |_p=-1 = -27/8 . ( -3 -34 +32)/(-1+10) = -3/8 A

C = I₀(p).(p+10) |_p=-10 = -27/8 . 1/10 . (300-340+32)/(-10+1) = -3/10 A

C.d.L. in Ingegneria Industriale

Prova scritta di ELETTROTECNICA del 08-11-2024

1. Si calcoli la corrente i(t) della rete elettrica di figura 1 per t ≥ 0 s, sapendo che detta rete si trovava a regime prima della chiusura dell'interruttore K, la quale avviene al tempo t = 0 s.

R = 3 Ω, alpha = 1, L = 5 H, C = 1/15 F, v_g(t) = 3 V, i_g(t) = 2 A.

Figura 1.

R = 3 ohm, L = 5 H,

C = 1/15 F, x = 1

Vj = 3 V, J = 2 A

3 iL(0) + i = -2 ij

iL(0) + 2i = Vj/R - 2ij

i = -2ij - 3iL(0) = -1 + 3 = -1 A

5 iL(0) = -2i - Vj/R = -5

iL(0) = -1 A

v_c(0) = R(i_L(0)) - R(i_L(0) + i_g) - 2R(-i_L(0) - i_g) = 3(-1 + 1 - 2 - 1 + 2) = -3V

-i_L + C dv_c/dt + (v_R + v_c)/R = 0

L di_L/dt - v_R + v_g + v_R + v_c = 0

v_R = -R(i_L + i_j)

dv_c/dt = -v_c/RC + (1/C)i_L + (1/C)i_L + (1/C)i_g = -5v_c + 30i_L + 30

di_L/dt = -1/5 v_c - v_g/5

v̄_c = -v̄_g = -3V̄, ī_L = -15/30 = -3/2 A

det(A - λI₂) = | -5 - λ    30 |                      | -1/5       -λ | = λ² + 5λ + 6

λ₁ = -2 s^-1, λ₂ = -3 s^-1

dv_c/dt |_t=0 = 15 V s^-1, di_L/dt |_t=0 = 0 A s^-1

R i_c = R i_L - v_c - αR(-i_g - i_L)

i_c = -v_c/R + 2(i_L + i_g)

i_o = i_L - i_c = v_c/R - i_L - i_g

v_c(0) = -3 = K₁ + K₂ - 3     K₁ = -K₂

d v_c/d t |_t=0 = 15 = -2 K₁ - 3 K₂ = -2 K₁ + 3 K₁ = K₁ ,   K₂ = -15 V, K₁ = 15 V

v_c(t) = 15 e^{-2 t} - 15 e^{-3 t} - 3 V   t > 0

i_L(0) = -1 = h₁ + h₂ - 3/2     h₁ + h₂ = 1/2

d i_L/d t |_t=0 = 0 = -2 h₁ - 3 h₂ = -2(h₁ + h₂) - h₂ = -1 - h₂

h₂ = -1 A     h₁ = 3/2 A

i_L(t) = 3/2 e^{-2 t} - e^{-3 t} - 3/2 A   t > 0

i₀(0) = v_c(0)/R - i_L(0) - i_g = -3/3 - (-1) - 2 = -2 A

i₀ = v_c/R - i_L - i_g = -3/3 - (-3/2) - 2 = 3/2 - 3 = -3/2 A

d i₀/d t |_t=0 = 1/R d v_c/d t |_t=0 - d i_L/d t |_t=0 = 1/3 15 - 0 = 5 A/s

i₀(0) = p₁ + p₂ - 3/2 = -2     p₁ + p₂ = -1/2

d i₀/d t |_t=0 = 5 = -2 p₁ - 3 p₂ = -2(p₁ + p₂) - p₂ = 1 - p₂

p₂ = -4 A     p₁ = 7/2 A

i₀(t) = 7/2 e^{-2 t} - 4 e^{-3 t} - 3/2 A   t > 0

V_p

i_L(0)

v_c(0)c

i_f1

E₃(p) = a(E₁(p) - E₄(p)) = E₁(p) + V_f/p , E₄(p) = -V_f/p

(1/R + 1/pL) E₁ - 1/pL E₂ - 1/R(-V_f/p) = -i_f/p - i_L(0)/p

(1/3 + 1/5p) E₁ - 1/5p E₂ = -1/p - 2/p + 1/p = -2/p

LKC 1

- 1/pL E₁ + (1/R + 1/pL + pC) E₂ - pC(E₁ + V_f/p) = i_L(0)/p + v_c(0)c

- (1/pL + pC) E₁ + (1/R + 1/pL + pC) E₂ = i_L(0)/p + v_c(0)c + CV_f

- (1/5p + p/15) E₁ + (1/3 + 1/5p + p/15) E₂ = -1/p - 3 . 1/15 + 1/15 3 = -1/p

LKC 2

Δ =

(1/3 + 1/5p      -1/5p)-1/5p - 1/15 p      1/3 + 1/5p + p/15

= (1/3 + 1/5p)² + p/15(1/3 + 1/5p) + -1/5p(1/5p + 1/15)

= 1/9 + 1/25p² + 2/15p + p/45 + 1/75 - 1/25p² - 1/75

= (5p + 6 + p²)/45p

D₁ = - 2/p - 1/5p

= - 1/p (2/3 + 2/5p + 2/15 p + 1/5p) = - 1/p (10p + 9 + 2p²)/15p

E₁(p) = - 1/p (2p² + 10p + 9)/15p . 45p/(p² + 5p + 6) = - 3/p (2p² + 10p + 9)/(p² + 5p + 6)

D₂ = - 1/p (1/3 + 1/5p + 2/5p + 2/15 p) = - 1/p (5p + 9 + 2p²)/15p

E₂(p) = - 1/p (2p² + 5p + 9)/15p . 45p/(p² + 5p + 6) = - 3/p (2p² + 5p + 9)/(p² + 5p + 6)

I₀(p) = 1/R E₂(p) = - 1/p (2p² + 5p + 9)/(p² + 5p + 6) = A/p + B/(p+2) + C/(p+3)

A = I₀(p) . p |_{p = 0} = - 3/2 A

B = I₀(p) . (p+2) |_{p = -2} = - 1/-2 (8 - 10 + 9)/-2 + 3 = 7/2 A

C = I₀(p) . (p+3) |_{p = -3} = - 1/-3 (18 - 15 + 9)/-3 + 2 = - 4 A

i₀(t) = (7/2 e^-2t - 4e^-3t - 3/2)u(t) A

Vc(p) = E2 - E3 = E2 - E1 - Vg/p =

= - 3/p - 3 (2p^2 + 5p + 9 - 2p^2 - 10p - 9) / (p^2 + 5p + 6) = - 3/p + 15 1/(p^2 + 5p + 6) =

= - 3/p + A'/(p + 2) + B'/(p + 3)

A' = Vc(p)(p + 2)|_{p = -2} = - 3/-2 (-2 + 2) + 15 1/(-2 + 3) = 15 V

B' = Vc(p)(p + 3)|_{p = -3} = - 3/-3 (-3 + 3) + 15 1/(-3 + 3) = -15 V

Vc(t) = (15 e^-2t - 15 e^-3t) u(t) V t > 0

IL(p) = iL(0)/p + 1/pL Vc(p) = - 1/p + 1/5p (- 3/p) - 1/(p^2 + 5p + 6)

(2p^2 + 10p + 9 - 2p^2 - 5p - 9) = - 1/p - 3/p - 1/(p^2 + 5p + 6)

= - 1/p - 3(A''/p + B''/(p + 2) + C''/(p + 3))

A'' = - 1/6 A

B'' = 1/-2 - 1/-2 + 3 = -1/2

C'' = 1/-3 - 1/-3 + 2 = 1/3

iL(t) = (3/2 e^-2t - e^-3t - 3/2) u(t) A t > 0.