Esercizi svolti di Elettrotecnica sul regime transitorio - Parte 2

C.d.L. in Ingegneria Industriale

Prova scritta di ELETTROTECNICA del 21-04-2023.

1. Si calcoli la tensione v_c(t) della rete elettrica di figura 1 per t ≥ 0 s, sapendo che detta rete si trovava a regime prima della chiusura dell'interruttore K, la quale avviene al tempo t = 0 s.

R = 1 Ω, L = 1 H, C = 1 F, v_g(t) = 2 V, i_g(t) = 1 A.

Figura 1.

1)

R = 1Ω, L = 1 H

C = 1 F

V_g(t) = 2 V, i_g(t) = 1 A

i_L(0) = i_g    v_c(0) = 0 V

= 1 A

- V_g/R - v_c + C dv_c/dt + i_L - i_g = 0

dv_c/dt = - v_c - i_L + 3

(di_L/dt)_t=0 = -1 + 3 = 2 V s^-1

v_c = R(i_L - i_g) + L di_L/dt

di_L/dt = v_c - i_L + 1

det(A - λ I₂) = | -1 - λ    -1 |

                             | 1    -1 - λ |

= 1 + λ² + 2λ + 1 = λ² + 2λ + 2    λ = -1 + i s^-1

d²v_c/dt² + 2 dv_c/dt + 2 v_c = 2

- v_c - i_L = -3

v_c - i_L = -1

v̄_c = v_c(+∞) = 1 V, ī_L = i_L(+∞) = 2 A

v_c(t) = A e^-t cos(t + φ) + 1,   A > 0

A cos φ = -1

- A cos φ - A sen φ = 2

- A sen φ = 1

A = √2 V

tg φ = 1

φ = -3π/4 rad

v_c(t) = √2 e^-t cos(t - 3π/4) + 1 V = -e^-t cos t + e^-t sen t + 1 V

(2 + p -1)(-1 1 + 1/p) (E₁E₂) = (2/p1/p - 1/p)

E₁ = V_c(p)

A = 2 + 2/p + p + 1 - 1 = (p² + 2p + 2)/p

E₁(p) = p/(p² + 2p + 2) (2/p -10 1 + 1/p) = p/(p+1)² + 1 . 2/p . (p+1)/p = 2 1/p (p+1).

1/((p+1)² + 1)

V_c(p) = A/p + (Bp + C)/((p+1)² + 1) = 2 1/p (p+1). 1/((p+1)² + 1)

2p + 2 = A(p² + 2p + 2) + (Bp + C)p

0 = A + B     2 = 2A + C     2 = 2A

A = 1     B = -1     C = 0

V_c(p) = 1/p - (p + 1 - 1)/((p+1)² + 1) = 1/p - (p + 1)/((p+1)² + 1) + 1/((p+1)² + 1)

V_c(t) = -e^-t cos t + e^-t sen t + 1 v

C.d.L. in Ingegneria Industriale

Prova scritta di ELETTROTECNICA del 24-01-2024

1. Si calcoli la corrente i_L(t) della rete elettrica di figura 1 per t >= 0 s, sapendo che detta rete si trovava a regime prima dell'apertura dell'interruttore K, la quale avviene al tempo t = 0 s.

R = 3 ohm, R₀ = 1 ohm, C = 1/36 F, L = 1 H, v_g(t) = 2 V, alpha = 1.

Figura 1.

1)

R = 3 ohm, R₀ = 1 ohm,

C = 1/36 F, L = 1 H

V_f(t) = 2 V, x = 1

V_c(0) = 0 V, i_L(0) = 0 A

-C dV_c/dt + i + i_L = 0

L di_L/dt + V_c + x V_R = 0

i = J₁ - i_L

V_R = R (J₁ - J₂)

2R J₁ - R J₂ = -V_c + R i_L

-R J₁ + (R + R₀) J₂ = V_f - xR (J₁ - J₂) + R₀i_L

J₂ = 2 + i_L

J₁ = -1/(2R) V_c + 1/2 i_L + x/2 + i_f/2

dV_c/dt = 36 i_L + 36(-1/6 V_c + i_L + 1) - 36 i_L = -6V_c + 36 i_L + 36

di_L/dt = -V_c - 3(-1/6 V_c + i_L + 1) + 3 . 2 = -1/2 V_c + 3

det(A - λI₂) = | -6-λ    36 |

                 | -1/2    -λ | = λ² + 6λ + 18 = 0    λ = 3(-1+i) , -1

-6 V_c + 36 i_L + 36 = 0

-1/2 V_c + 3 = 0     V_c = 6 V     I_L = 0 A

i_L(t) = K₁ e^-3t cos(3t + φ)

K₁ > 0    φ ∈ ]-π, π]

i_L(0) = 0 = K₁ cos φ    cos φ = 0    φ = π/2 o   φ = -π/2

di_L/dt |_t=0 = 3 = -3K₁ cos φ - 3K₁ sen φ    φ = -π/2   with   K₁ = 1 A

i_L(t) = e^-3t sen 3t A, t > 0

V_L(0) + V_C(0) + (alpha)V_R(0) = 0 → V_C(0) = 0 V (V_R(0) = 0 V)

V_AB = 0 V

V_L(0) - V'_R(0) + V_AB = 0 → V'_R(0) = R i'_R(0) = 0 (i'_R(0) = 0 A)

i'_R = - i_L(0) i_L(0) = 0 A

E₁

E₂

E₃

(1/R + 1/R + 1/R₀) E₃ - 1/R E₁ - 1/R₀ E₂ = -i_f E₂ = E₃, E₁ = V_C

2E₃ = -R(i_f + V_C/R) i = -E₃/R = (R/R)i_f - V_C/2R = -1 - V_C/2R

(6 + 36/p -3 -3) (J1) (0)

(-3 4 -1) (J2) = (-3(J1-J2) + 2/p)

(-3 -1 4+p) (J3) (-2/p)

Delta =

(2(1 + 6/p) -1 -1)

(0 1 -1) = 2(1 + 6/p)(4+p-1) - 6 =

(-3 -1 4+p)

= 2/p (p+6)(p+3) - 6 = (2p² + 18p + 36 - 6p)/p = 2/p (p² + 6p + 18)

Delta₃ =

(2(1 + 6/p) -1 0)

(0 1 1) . 2/p = 2/p (0 + 3)

(-3 -1 -1)

I_L(p) = 2/p 3 1/(2/p (p² + 6p + 12)) = 3/((p+2)² + 3²)

i_L(t) = L^-1[3/((p+2)² + 3²) t] = e^-3t sen(3t) A t>0

Delta₂ =

(2(1 + 6/p) 0 -1)

(0 1 -1) 2/p = 2/p {2(1 + 6/p)[4+p-1] - 3} =

(-3 -1 4+p)

= 2/p [2(p+6)(p+3)/p - 3] = 2/p 1/p (2p² + 18p + 36 - 3p) =

= 2/p² (2p² + 15p + 36)

I₂ = (2/r²) (2r² + 15r + 36) / ((2/r)(r² + 6r + 12)) = 1/r (2r² + 15r + 36) / (r² + 6r + 12)

I_f = I₂ - I₁ = 1/r 1/(r² + 6r + 12) [2r² + 15r + 36 - 3r] =

= 2/r