Esercizi per l'esame di Sicurezza delle strutture marine

ES SUI DADI

Lancio due dadi, qual è la probabilità che il valore più alto sia = 6?

E la P che esca 6 con almeno un lancio?

Vogliamo trovare la prob che l'estremo superiore (il numero piu grande) sia esattamente 6.

Sappiamo che per le distribuzioni discrete (come i dadi), la probabilità che l'estremo superiore sia

esattamente un certo valore x è data dalla differenza tra due cumulative:

• La probabilità che il massimo sia < 6. Y rimbne PROB

La

mi di fare

sottraendo ESATTAMENTE O

• La probabilità che il massimo sia < 5. [5] 2 25

2

Fere(5)

[1] 2

Fexxtrz x(0))2 [Fx(5)]

=

(b) 1 =

= =

=

j

=

P ↑

singolo dado

di P ottenere

Prob di

ottenere un

La con un

.

. è valore

6 certo 5

Un (evento

numero 1 3

Ferz(5)

Fere(d)

p[XTextr 2

6) 1 =

=

= -

= -

.

Metodo combinatorio: visualizzare fisicamente quei 11 casi su 36 (le combinazioni totali possibili

lanciando due dadi sono 6 x 6 =36 ) , basta contare le coppie che contengono almeno un6:

dado (6-6)

(6-1)

il (0-2)

sul 16 -3) (6 5)

Se primo -4) 6 CASi

(6

6 esce >

:

· - -

,

.

,

, .

dado (4

(2-6)

sul

il CASI

(1-0)

secondo 6) (5

Se 6)

(3-6) 6)

(6 5

esce

6 :

· >

-

- - -

, . ,

,

. L'HOGIA SOPRA

CONTATO

11/36

Favorevoli

Casi

11

#5 6 -

+ = Distrib

Indipendenti

HP Stessa

Lanci e Con La

: Ex extr SiA

PROB

Isempre Lanci] IL

Ex(x) Ce MAX

su >5

(X) Due :

X 2 . 11

. 25

PIXEx <5]

10 1136 1

l =

= -

IL

MI PROB CHE 36

DICE LA . 36

4/36 .

2/6

2 VALORE SIA

MAX X MAX

4

/30 IL

SIA N

ESATTAMENTE

CHE

33/0 .

1 -

P[xxi 4)

16/36 7130

4/6

4 =

=

=

.

25/30

5/6

5 ?

Il SIA

MADX 1

CHE

6 A

l * 1) 1/36

PIX (COMBO 1-1)

= =

?

Piccolo

Più Sia

Numero 1 (5)2

f)

Fx(x)] 2 3

[1

Fex(x) (1 1

1

1 1

= =

= = =

- - - -

-

- 1-P(XN)

P(XH) COMPLEMENTARE

VOGLIO

QUANDO EVENTO !

UNA = dadi

n .

(64)

?

Variabil 2Dadi Somma

Lancio 36

Somma (ASi

Sia

Che 10 TOT

>

: , .

Cli 10

CASI In :

,

(5

(5

6) 5) 6)

(6

(4 16

6)

5)

- -

- - -

, . .

,

FAVOREVO

DADI i

CON3 6

CASI Casi

NOTA TOT >

: - 7

63 613

216

Sono =>

= = 1/12)

3136

(Sec Solo

Allora

10 =

,

ES CON TRAVI

1

ESERCIZIO Dati: collasso di ogni trave P[Ci] = 0,01

1)

2(2 - Il collasso della struttura è dal collasso di almeno una trave. Essendo

isostatica, la struttura non ha ridondanze (non ci sono aste in piu che

1)

2(2 possono salvare la situazione se una cede)

-

1)

2(2 -

Y ↓

1GD((P) 2GDL(4 3)

, 1 01SO

INTERNA 2(n-1) Vi

CERNIERA =

=

: eso IPO

1

RESIDUi ISOSTATICA

9-6-3 Struttura

3 m-Vi-Ve

GDL o

=

= =

. 20 IPER

·

P(CUC8(3) P[Cnc2n()

PIC2] PICUC2)

P(C) PTCzn(3]

P[23]

P(C) PlanC3] +

+

+

= -

= -

-

3P(Cin(j)

3P(Ci)

PIC] P((n(2n(z)

+

= -

Diversi scenari:

• EVENTI MUTUALMENTE ESCLUSIVI

Si ipotizza che se collassa un'asta, è impossibile che ne collassino altre contemporaneamente

(le probabilità intersezione si annullano)

PICin(j]

PICinG] = j 3

it] i 1 2

= ,

, ,

3 p[Ci]

PIC] 3 3 %

03

01

0 0 =

= =

= . .

,

• EVENTI INDIPENDENTI Il collasso di un'asta non sa nulla del collasso dell'altra

Per trovare l'intersezione si usa il prodotto PLAMBI PIBJ

PIAJ >

= . DANO PROB CONDIZIONATA :

.

P((i)3

3P((i)2

3P((i)

P[C]

=> +

= - PLANB]

PLAIB) P(A)

029701

0003 000001

03 0

0 0 0

+ =

= =

=

-

. , .

, P(B)

PLAnB]

Più P(A)

FURBO P(B)

Modo : = -

P(Si) 99

01

1 0

0 =

= - .

.

P(Si)3 99)3

P(S) (0

= = , 99)3

P(C) P(S) 97

1 (0 03

1

1 0 = 0

= =

= -

- - , .

.

-

x)"

(1 1 nX

= -

- 97

3 01

1 0

. 0

= =

.

- .

• EVENTI MUTUALMENTE INCLUSIVI

Significa che c'è una correlazione perfetta. Se cede un'asta, cedono

automaticamente anche le altre, per cui l'intersezione equivale all'evento stesso.

P(AMB) -P(AnB) P(B)

1

= =

3P((i)

3 PX(i) P((i)

P(C) 01

0

+ =

= - .

• EVENTI DIPENDENTI POSITIVAMENTE : se un'asta si rompe, il carico si ridistribuisce sulle

aste superstiti, caricandole di più e quindi aumentando la loro probabilità di rottura

PLAB) PLAMB)

PA P(AIB) P(B)

P(B)

PLAIB) P(A)

I >

> =

= . .

P((in(j) 0001

0

01

01 0

> 0 =

. ,

,

, [IPOTIZZATO]

P(Cin(j) 0 0002

= ,

P((n(2n(z) P((((an() P(Can(3) =

an(3) P((3) 01

(3) 0

02 0 02

0 .

=

= .

. .

. .

,

P((2((3) P((2) 02

< 0

w = ,

P((((((s) P((1) 0

. 02

> =

P(C) 01-3 02970

3 02

002 01

0002

0 0

0 0

0 +

= =

. . .

.

. .

, .

.

ESERCIZIO 2 Calcolare P(C) della struttura

P(Ci) = 0,01

2 Struttura iperstatica

3 26

27 2

= = -

-

-

8-9 e 6-7 sono elementi ridondanti (in parallelo).

Forniscono un grado di iperstaticità

p[cu(u(u(u(u((on(a) u(con(a))

P(() = potrei 1-(Con(g)

Anche Calcolare

~ =

P(() (Sousa) n(Seusa)

PS1 San S3154155n

1

P(S) 1 1-(0 01)

= 01 0

= - =

= . ,

.

5 P(sa)-P(Sonsg))

(P(Se)

(P(SO) P(Sonsa))

P(Si) P(57) 9999

0

+ =

+

-

.

= ,

.

9972)2

99)5 (0 099 - 10

99 9508

(0 0

+ =

= ,

. .

, .

9508

P(S) 4 %

92

1

P(() 1 0

= =

=

- - . ,

Nel caso in cui non avessi le travi doppie: Trave isostatica

l 18 3

21 0

= =

-

-

P(CUCzU(zU(yU(VCou()

P(2) = 99)7

P(Si)7

P() p(SinSanS31SynS5nSonSz)

P(S) (0

1

= = = =

- ,

997 Rimuovere la ridondanza fa aumentare

0079

P(() 1 0

0

= =

- . , 7 la probabilità di rottura del sistema!

↳ 01) 7

(1 07 93

01 1

0 0

0 1 0 =

=

= -

- .

- .

. . .

ESERCIZIO 3 1 12 Struttura isostatica quindi il collasso di un elemento

15 3 0

= =

-

- qualsiasi porta al collasso dell'intera struttura

P((i) 01

0

= .

P((

P(() UCzUCzUCyU(5)

= 995

P(Si)"

P(S1nS2nS3nSunS5)

P(S) 0

= = = .

995

P(C) P(S)

1 1 0

= = -

- .

ESERCIZIO U Struttura iperstatica

l 18 4 16 2

= = -

-

-

Il collasso della struttura avviene se e solo se si verifica il collasso

di due elementi contemporaneamente (in questo caso ho una

ridondanza globale, prima solo locale con le travi doppie)

elementi

tot

n .

. 2

) Mk) (2)

Per calcolare le combinazioni uso il coefficiente binomiale: = = =

-> trovo le coppie che innescano il crollo "dimensione

,

del Gruppo

Esistono 15 diverse combinazioni che mi portano al collasso

015((jn(k)i

PIC] [sistema che collassa a coppie]

1

j 6

con 2

k =

= , , , ...

1

i = 012

pin() 012 P(Si)

Singolo 01 1 0

01

0 0

0 =

= =

. - .

.

.

, , 012)15

012)15 P(C)

p(s) (1 (1

TOTALE 0 1 0

· = = -

- - ,

. ,

ESERCIZIO 5 =>>>

Distribuzione della resistenza della trave 5

fr 1120 fr

70) 1 < =

=

-

Le travi della travatura sono soggette

solo a SFORZO NORMALE

Calcolare la probabilità di collasso del sistema

C Sistema ISOSTATICO

9-6-3 0

= =

Per le travi oblique: Il sistema è in equilibrio: le componenti verticali

delle 2 aste oblique bilanciano il carico

(30) Na

(38) Kf N

N2 COS

NICOS 100 N1

+ =

= =

aN Kg

COS(30) 100

=

100

* 74gookg 73

1

N 57 3

= =

= ,

,

P(R 120)

P(S) RELA0

N)

>

= , Le travi oblique non collassano mai

P((2) P(S)

P((1) 1 1

1 0

=

= =

= - -

Trave orizzontale: )

COS(60

% Rx2

Na 0