Esercizi di Fisica generale

Piano & anello

Un sistema elettrostatico è costituito da un piano infinito uniformemente carico con una densità superficiale di-7carica σ e da un anello di raggio R = 20 cm, uniformemente carico con una carica = 2 × 10 C, dispostoQparallelamente al piano infinito, ad una distanza = 75 cm dal piano stesso. Sapendo che nel punto P postodsull'asse dell'anello dalla parte opposta al piano e alla distanza = 15 cm dal centro O dell'anello, il campo E èLnullo, calcolare 1) il valore e il segno della densità superficiale di carica σ. Successivamente una piccola particella-4 -9carica, di massa = 10 g e carica = 10 C, inizialmente ferma nel centro O dell'anello, e' lasciata libera dim q 0muoversi. Calcolare 2) il modulo dell'accelerazione iniziale della particella e 3) la velocità della particella quandoraggiunge la superficie del piano.

  12 1 4     8.854 10 F m m0 10 gmε0  7    d 75 cm Q 2 10 C 9   L 15 cm q0 10 C R 20 cm

Scelgo un asse z perpendicolare al piano e passate per il centro O dell'anello. Nel punto P il campo Edell'anello e' diretto in direzione +z. Affinche' il campo risultante sia nullo la densita' di carica σ dovra'essere negativa e i due campi uguali in modulo. Allora si trova:

Q L Q L  7 2σ         3.06 10 C m= σ      2 4 21.5 1.5ε0 π ε0 π2 2 2 2 L LR R

Nel centro O il campo dell'anello e' nullo e quindi l'accelerazione iniziale e' solo quella dovuta al campodel piano. Il piano e' carico negativamente e attira la particella positiva che quindi ha un'accelerazionediretta verso il piano stesso.

q0 E0 4 1 2σ          E0 1.726 10 V m a 172.56 m s2 m0ε0

La velocita' della particella in O si trova dalla conservazione dell'energia. Detti Vai, Vaf, Vpi e Vpf i valori delpotenziale dell'anello e del piano nei punti iniziale e finale, e v il modulo della velocita' con cui la particellaraggiunge il piano, si trova:

1 12 2            q0 ( Vai Vpi ) q0 ( Vaf Vpf ) m0 v q0 ( Vai Vaf Vpi Vpf ) m0 v= =2 2Q Q 13 3      Vai 8.988 10 V Vaf 2.316 10 V    4 R 4π ε0 π ε0 2 2R d 4σ     Vpi Vpf d 1.294 10 V= ΔVp ΔVp 2 ε0 3    Vai Vaf Vai Vaf 6.672 10 V= ΔVa ΔVa  1 q0 ( ) 2 1ΔVa ΔVp        q0 ( ) m0 v v 2 19.81 m s=ΔVa ΔVp 2 m0

Un piano col buco

Una piccola particella con carica q = 10 C e massa M = 0.5 g e' posta di fronte ad un piano infinito carico con una densita' dicarica uniforme σ. Per mantenere la carica ferma in un punto P alla distanza x = 0.5 m dal piano, e' necessario applicare una0 0-6forza F = 3.75 x 10 N, diretta in direzione del piano. Calcolare 1) la densita' superficiale di carica σ del piano in valore e segno.Successivamente nel piano viene praticato un foro circolare, rimuovendo la carica contenuta un disco di diametro D = 0.75 m,col centro O in corrispondenza della perpendicolare al piano passante per P. Dopo che e' stato rimosso il disco la carica q,0inizialmente ferma, viene lasciata libera di muoversi. Calcolare 2) il modulo dell'accelerazione iniziale con cui la carica si mettein moto; 3) la velocita' con cui la carica raggiunge un punto P posto alla distanza x = 1.5 m dal centro O della regione vuota.1 1

 12 1   8.854 10 F mε0  3 9       M 0.5 10 kg x0 0.5 m q 1.0 10 C 6      F 3.75 10 N D 0.75 m x1 1.5 m

La densita di carica superficiale del piano si calcola dalla forza elettrostatica Fe che agisce sulla particella. Questa forzae' uguale e opposta a quella necessaria per tenerla ferma e quindi e' diretta in direzione opposta al piano. Quindi laforza Fe e' repulsiva e di conseguenza la densita' di carica nel piano e' positiva. Dalla formula del campo Ep per unpiano infinito abbiamo:

 2 F  8 2σ σ ε0