Esercizi Analisi 2 svolti

esercizi

ANALISI 2°

2024/2025

Esercizi Analisi (II): (Ripasso geometria di base)

Integrali curvilinei campi vettoriali:

f : R^m -> R^m g : [a,b] -> R alpha : J -> R^m

∫_alpha f dα = ∫_a^b f(alpha(t)) cdot alpha'(t) dt

alpha: { x₁ = x₁(t) x₂ = x₂(t) ... x_m = x_m(t) }

t in [a,b]   t e uno scalare. Punto in una curva e un vettore.

Esercizio (1):

F(x,y) = (x² - 2xy) i + (y² - 2xy) j C   y = x²   A(-1,1)   B(1,1)   ∫_C F d⃗c

(1) Passaggio parametrico (obiettivo passare da A a B).

della parabola, a > 0 V = (-b/2a, -delta/2a)

C: { x = t y = t² }   t in [-1,+1]

c(t): { c(t) = t i + t² j = (t, t²) c'(t): { c'(t) = i + 2t j = (1,2t)

c' = { x' = 1 y' = 2t } = (1,2t)   t in [-1,+1]

(2) Ovvero dove varia parametro t. (3) Calcolo F[c(t)]

F[c(t)] = (t² - 2t³) i + (t⁴ - 2t³) j

F[c(t)] cdot c'(t) = (t² - 2t³) + 2t(t⁴ - 2t³) = t² - 2t³ + 2t⁵ - 4t⁴

∫_C F dc = ∫_-1⁺¹ (t² - 2t³ + 2t⁵ - 4t⁴) dt = 2 ∫₀¹ (t² - 4t⁴) dt = 2 (t³/3 - 4t⁵/5)₀¹ = 2 (1/3 - 4/5) = 2 (-7/15) = -14/15

Esercizio (2):

∫_alpha F d⃗c

F(x,y) = (2a - y) i + x j   alpha(t) = a(t - sin(t)) i + a(1 - cos(t)) j   t in [0;2pi]

alpha = { x = a(t - sin(t))   t in [0;2pi] y = a(1 - cos(t)) }

alpha' = { x' = a(1 - cos(t))   t in [0;2pi] y' = a sin(t)

F[alpha(t)] = (2a - a + a cos(t)) i + a(t - sin(t)) j = a(1 + cos(t)) i + a(t - sin(t)) j

F[alpha(t)] cdot alpha'(t) = a(1 + cos(t)) i + a(t - sin(t)) j cdot (a - cos(t)) i + (a sin(t)) j

= a²(1 - cos²(t)) + a² sin(t)(t - sin(t)) = a² - a²(cos²(t) + sin²(t)) + a² t sin(t) = a² t sin(t)

∫_alpha F d&x20D7;c = ∫₀^2pi a² t sin(t) dt = a² ∫₀^2pi t sin(t) dt

= a² [ t sin(t) dt ] integrazione per parti : f = t g' = sin(t)

f' = 1 g = -cos(t)

= -t cos(t) - int cos(t) dt = -t cos(t) + sin(t)

= a² [ -t cos(t) + sin(t) ]₀^2pi = a² ( -2pi ) = -2pi a²

esercizio (3):

f(x,y) = (x² + y²) i + (x² - y²) j

C: y = 1 - |1 - x|

A(0;0) B(2;0).

f(x) = |x| { x per x > 0; -x per x < 0. }

|1 - x| = { 1 - x se x <= 1; -1 + x se x > +1 }

poiche anche la curva C: y = 1 - |1 - x| = { x se x <= +1; 2 - x se x > +1 }

gamma = gamma₁ U gamma₂ => int_gamma f d vec r = int_gamma1 f d vec r + int_gamma2 f d vec r

fatto la traiettoria.

A -> C    gamma1

C -> B    gamma2

A -> C    gamma1: { x = t; y = t } t in [0;1]

gamma1(t) = t i + t j    gamma1'(t) = { x' = 1; y' = 1 } = i + j

f[gamma1(t)] = t² + t² = 2t² i + 0

f[gamma1(t)] . gamma1'(t) = (2t²) . (1) = 2t²

int_gamma1 f d vec r = int₀¹ 2t² dt = (2t³/3)₀¹ = 2/3

C -> B    gamma2: { x = t; y = 2 - t } t in [1;2]

gamma2(t) = t i + (2 - t) j    gamma2'(t) = { x' = 1; y' = -1 } in [1;2]    gamma2'(t) = i - j

f[gamma2(t)] = (t² + 4 + t² - 4t) i + (t² - 4 - t² + 4t) j = (2t² + 4 - 4t) i + (4t - 4) j

f[gamma2(t)] . gamma2'(t) = 2t² - 8t + 8

int_gamma2 = int₁² (2t² - 8t + 8) dt = 2[ t³/3 - 2t² + 4t ]₁² = 2(8/3 - 8 + 8 - 1/3 + 2 - 4) = 2(1/3 - 2) = 2/3

esercizio (4):

f(x,y,z) = (2xy) i + (x² + z) j + (y) k

A(1;0;2) B(3;4;1)

int_C f d vec r = ?

C: { x = xA + (xB - xA) t; y = yA + (yB - yA) t; z = zA + (zB - zA) t } t in [0;1]

C: { x = 1 + 2t; y = 0 + 4t; z = 2 - t } t in [0;+1]

C' = { x' = 2; y' = 4; z' = -1 } t in [0;+1]

r(t) = (1 + 2t) i + (4t) j + (2 - t) k

c'(t) = (2i) + (4j) - k

f[r(t)] = [8t(1 + 2t)] i + (1 + 4t² +