Esercitazione 5: Reazioni enzimatiche

Esercitazione 5

Simulazione di reazioni enzimatiche

Modelli di Sistemi Biologici

File per preparazione orale

Obiettivo del file. Questo documento spiega in modo organico l’Esercitazione 5:

modello differenziale della reazione enzimatica, casi con enzima o substrato in ecces-

so, caso della carbonic anhydrase con ricombinazione assente, verifica della legge di

Michaelis-Menten e simulazione dei tre tipi principali di inibizione enzimatica: compe-

titiva, non competitiva e anticompetitiva.

22 giugno 2026

Modelli di Sistemi Biologici Esercitazione 5

Indice

1 Obiettivo generale dell’esercitazione 2

2 Schema generale della reazione enzimatica 2

3 Variabili di stato e condizioni iniziali 3

4 Velocita’ elementari e modello ODE 3

5 Conservazione della massa 4

6 Caso 1: enzima molto maggiore del substrato 4

7 Caso 2: substrato molto maggiore dell’enzima 6

7.1 Confronto tra caso 1 e caso 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

8 Caso 3: carbonic anhydrase e ricombinazione assente 8

9 Due scale temporali e quasi steady-state del complesso 9

10 Legge di Michaelis-Menten 10

11 Caso 4: inibizione enzimatica 11

11.1 Inibizione competitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

11.2 Inibizione non competitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

11.3 Inibizione anticompetitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

11.4 Confronto grafico delle inibizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

11.5 Tabella riassuntiva sugli inibitori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

12 Analisi di sensibilita’ su 14

k +3

13 Nota tecnica sul codice MATLAB 15

14 Domande probabili all’orale 15

15 Errori da evitare 16

16 Discorso orale completo 16

17 Mini-scheda finale 17

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Modelli di Sistemi Biologici Esercitazione 5

1 Obiettivo generale dell’esercitazione

L’Esercitazione 5 riguarda la simulazione di reazioni enzimatiche. L’idea di base e’ descrivere

matematicamente una reazione in cui un enzima si lega a un substrato forma un complesso

E S, C,

e poi genera un prodotto , liberando di nuovo l’enzima. La traccia chiede di scrivere il modello

P

in termini di equazioni differenziali ordinarie, simulare nel tempo le concentrazioni di substrato,

enzima, complesso e prodotto, e rappresentare anche la velocita’ di formazione del prodotto dp/dt.

Successivamente si analizzano il caso della carbonic anhydrase, la legge di Michaelis-Menten e gli

effetti di diversi tipi di inibizione enzimatica.

La differenza rispetto alle esercitazioni precedenti e’ che qui non si sta stimando un modello da dati

sperimentali, ma si sta simulando un modello biochimico costruito a partire dalla legge di azione di

massa. Le variabili di stato sono concentrazioni, e le equazioni derivano direttamente dalle reazioni

elementari.

2 Schema generale della reazione enzimatica

Lo schema generale e’: k k

+1 +2

⇌ ⇌

E + S C E + P.

k k

−1 −2

Il significato delle specie e’ il seguente:

• substrato;

S:

• enzima libero;

E:

• complesso enzima-substrato;

C:

• : prodotto;

P

• : costante di formazione del complesso da enzima e substrato;

k +1

• : costante di dissociazione del complesso in enzima e substrato;

k −1

• : costante di formazione del prodotto a partire dal complesso;

k +2

• : costante di ricombinazione di enzima e prodotto in complesso.

k −2

Figura 1: Schema generale della reazione enzimatica. Il prodotto puo’ ricombinarsi con l’enzima solo

̸

se k = 0.

−2

La cosa piu’ importante da ricordare e’ che l’enzima non viene consumato definitivamente: puo’

essere libero, oppure temporaneamente sequestrato nel complesso, ma alla fine viene rigenerato.

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3 Variabili di stato e condizioni iniziali

Nel codice MATLAB le variabili di stato sono organizzate come:

[ ] T

s(t) e(t) c(t) p(t)

x(t) = .

Dove:

• e’ la concentrazione del substrato;

s(t)

• e’ la concentrazione dell’enzima libero;

e(t)

• e’ la concentrazione del complesso;

c(t)

• e’ la concentrazione del prodotto.

p(t)

Le condizioni iniziali sono:

s(0) = s , e(0) = e , c(0) = c , p(0) = p .

0 0 0 0

Generalmente si assume: c = 0, p = 0,

0 0

perche’ all’inizio non c’e’ ancora complesso e non c’e’ ancora prodotto.

4 Velocita’ elementari e modello ODE

Applicando la legge di azione di massa, le quattro velocita’ elementari sono:

v = k se,

1+ +1

v = k c,

−1

1−

v = k c,

2+ +2

v = k ep.

−2

2−

Quindi le equazioni differenziali sono: −k

ṡ = se + k c,

−1

+1

−k −

ė = se + k c + k c k ep,

−1 −2

+1 +2

− −

ċ = k se + k ep k c k c,

−2 −1

+1 +2

−

ṗ = k c k ep.

−2

+2

La velocita’ di formazione del prodotto e’: dp −

v (t) = = k c k ep.

−2

+2

P dt

Nel file il modello e’ implementato come:

fun_enzimi.m

dx(1)=-kpiu_1*x(1)*x(2)+kmeno_1*x(3);

dx(2)=kmeno_1*x(3)-kpiu_1*x(1)*x(2)+kpiu_2*x(3)-kmeno_2*x(2)*x(4);

dx(3)=kpiu_1*x(1)*x(2)+kmeno_2*x(2)*x(4)-kpiu_2*x(3)-kmeno_1*x(3);

dx(4)=kpiu_2*x(3)-kmeno_2*x(2)*x(4); 3/17

Modelli di Sistemi Biologici Esercitazione 5

5 Conservazione della massa

Nel modello semplice l’enzima totale si conserva:

e(t) + c(t) = e + c .

0 0

Se c = 0:

0 e(t) + c(t) = e .

0

Analogamente, la quantita’ totale collegata al substrato si conserva:

s(t) + c(t) + p(t) = s + c + p .

0 0 0

Se c = p = 0:

0 0 s(t) + c(t) + p(t) = s .

0

Queste relazioni spiegano perche’ l’enzima non sparisce: passa da forma libera a forma legata e

viceversa. Il substrato invece viene trasformato in complesso e prodotto.

Da dire all’orale. Le equazioni derivano dalla legge di azione di massa. Ogni termine positivo

rappresenta una via di formazione della specie, mentre ogni termine negativo rappresenta una

via di consumo. L’enzima non viene consumato, ma si conserva come enzima libero piu’ enzima

legato nel complesso.

6 Caso 1: enzima molto maggiore del substrato

Nel primo caso i parametri sono:

k = 1, k = 1, k = 1, k = 1,

−1 −2

+1 +2

mM, mM.

s = 1 e = 100

0 0

Quindi: ≫

e s .

0 0

C’e’ molto enzima rispetto al substrato. Il substrato viene quindi catturato rapidamente, il complesso

si forma velocemente e il sistema raggiunge il regime in un tempo molto breve, dell’ordine