Esami svolti Fondamenti di automatica, parte 3

Cognome: Nome: Matricola: Fondamenti di automatica - Gestionale

Domanda scritta del 21/11/2022

Esercizio #1

Si considerino i sistemi (tempo continuo) della forma ẋ(t) = Ax(t), dove la matrice A è definita come  0 0   −3 −40 0 b) A =a) A = e 2 11.

Per ognuno dei casi a, b, studiare la stabilità del sistema.

X2. Per ognuno dei casi a, b, calcolare l’insieme dei punti di equilibrio.e

Esercizio #2

Data la rappresentazione in variabili di stato di un sistema lineare e stazionario (tempo continuo)4       ẋ (t) α +1 0 α x (t) 1 11 1 u (t)1−1ẋ (t) α 0 x (t) 1 0= +2 2        u (t)2−ẋ (t) 0 0 α 1 x (t) 0 03 3x (t)1 y (t) 1 0 11 x (t)= 2 y (t) 0 1 02 x (t)3 ∈

1. Studiare la stabilità del sistema al variare di α R. T 1 1 1

2. Posto α = 0, determinare la risposta libera y (t) in uscita a partire dallo stato iniziale x(0) = .l

3. Posto α = 0, determinare la risposta forzata y (t) nell’uscita, dove le componenti dell’ingresso forzantef sono u (t) = sin(t)δ (t) e u (t) come sotto rappresentato (ovvero un triangolo che ha inizio in t = 1 e−11 2fine a t = 3, con altezza massima unitaria e simmetrico).

Esercizio #3

Data la rappresentazione in variabili di stato di un sistema lineare e stazionario (tempo discreto)       x (k + 1) 1 1 0 x (k) 01 1x (k + 1) 0 0 2 x (k) 0= + u(k)2 2       −1x (k + 1) 0 0 x (k) 13 3 x (k)1 1 0 1 x (k)y(k) = 2 x (k)3

1. Studiare la stabilità del sistema.

2. Studiare la stabilità esterna del sistema.

3. Determinare la rappresentazione ingresso-uscita nel tempo (ponendo le condizioni iniziali nulle).

Cognome: Nome: Matricola: Fondamenti di automatica - Gestionale

Domanda scritta del 21/11/2022

Esercizio #1

1. Stabilità sistema ✓

• A) Asintoticamente stabile Semplicemente stabile Instabile Nessuna delle precedenti □ □ □ □
• B) Asintoticamente stabile Semplicemente stabile Instabile Nessuna delle precedenti □ □ □ □

2. Punti di equilibrio 0 0X Xa) = b) =e e0 0

Esercizio #2

1. Stabilità sistema ∈ −1)

Valori di α per stabilità asintotica: α (−∞,−1

Valori di α per stabilità semplice: α =∈

Valori di α per instabilità: α (−1, +∞)

2. Risposta libera nell’uscita −tt e + ey (t) =l −te

3. Risposta forzata nell’uscita1 1 1 t − − − − − −e cos(t) sin(t) δ (t) + F (t 1) 2F (t 2) + F (t 3)−1 2 2 32 2 2y (t) =f t−(−1 t + e ) δ (t)−1−t1 1 1 −dove F (t) = e cos(t) + sin(t) δ (t).−12 2 2 2

Esercizio #3

1. Stabilità sistema ✓

Asintoticamente stabile Semplicemente stabile Instabile Nessuna delle precedenti □ □ □ □

2. Stabilità esterna sistema ✓

Esternamente stabile Non esternamente stabile □ □

3. Rappresentazione ingresso-uscita nel tempo − − − − − −y(k) y(k 2) = 2u(k 3) u(k 2) + u(k 1)

Svolgimento esercizi

Svolgimento esercizio #1

1. a) La matrice A vale  0 0   1 00 0A = e = ,0 1 quindi gli autovalori sono λ = λ = 1, dunque il sistema è instabile.1 2−1 −1

b) Gli autovalori sono λ = + 2i e λ = 2i. Poiché la parte reale degli autovalori è negativa, il1 2 sistema è asintoticamente stabile.

1 0 0X2. a) L’insieme dei punti di equilibrio è dato da = ker(A) = ker = . L’unico punto die 0 1 0 equilibrio è l’origine.

−3 4 0Xb) L’insieme dei punti di equilibrio è dato da = ker(A) = ker = . L’unico punto die 2 1 0 equilibrio è l’origine.

Svolgimento esercizio #2

1. Il polinomio caratteristico della matrice A è p(λ) = (λ+1)(λ−α+1)(λ−α−1), dunque gli autovalori sono −1, − −1λ = λ = α 1 e λ = α + 1. Per α < tutti gli autovalori sono strettamente negativi, quindi il1 2 3 −1 sistema è asintoticamente stabile, per α > il sistema presenta un autovalore positivo, quindi il sistema −1,è instabile. Infine, per α = un au