Es multi degree of freedom 3

Vibrazioni di sistemi a molti gradi di libertà

1. Sistema a due gradi di libertà

k k k1 2 3m m1 2

Si consideri il sistema a due gradi di libertà rappresentato nella figura. Esso è costituito da due masse collegate tra di loro ed al telaio da molle lineari.

Scrivere le equazioni del moto, scegliendo come coordinate lagrangiane gli spostamenti assoluti delle due masse; calcolare le pulsazioni naturali del sistema e la matrice modale.

Dati: m = 5 kg; m = 10 kg; k = k = 2 N/m; k = 4 N/m;1 2 1 2 3

Calcolare inoltre la risposta libera del sistema, con le seguenti condizioni iniziali:       T T x 0 0 , v 2 2 caso 1: 0 0

      T T x 1 0 , v 0 0 caso 2: 0 0

 2  rad/s; 1 rad/s;       51 2    cos t 2cos t   1

Sol: caso 1: ; caso 2:  Tx 10sin t 1 1 1 2x       1   1 1 cos t cos t3     1 2    1 1 2  

2. Sistema a due gradi di libertà

O Am , l2 k2m1k c1 1

Si consideri il sistema a due gradi di libertà costituito da un’asta OA di massa uniformemente distribuita m2 e da una massa concentrata m1 collegate tra di loro ed al telaio tramite due molle ed uno smorzatore come risulta dalla figura.

Nell’ipotesi delle piccole oscillazioni scrivere le equazioni del moto, assumendo come coordinate indipendenti lo spostamento verticale della massa e la rotazione dell’asta.

Calcolare le pulsazioni naturali del sistema e la matrice modale (ponendo c = 0).1 1

Dati: OA=l=0.5 m; m = 5 kg; m = 10 kg; k = 2 N/m; k = 4 N/m;1 2 1 2

   0.469 rad/s; 1.476 rad/s;1 2 

Sol:  1 1      2.45 2.45  

3. Oscillazioni torsionali di alberi elastici

A C D Bk kk 2 31 I I1 2

Si consideri il sistema rappresentato nella figura, costituito da due dischi aventi momenti di inerzia I e I e calettati rigidamente su di un albero, il quale a sua volta è incastrato alle 1 2 estremità A e B, mentre è impedita la sua traslazione laterale in C e D. Le tre parti dell’albero hanno rigidezza torsionale k , k e k . Si ricavino le equazioni del moto, assumendo come 1 2 3 coordinate lagrangiane le rotazioni assolute dei dischi.

Ipotizzando inoltre che le tre porzioni di albero abbiano la stessa rigidezza k e che I = 2I :t 2 1  si ricavino gli autovalori e la matrice modale;;⁄ ⁄ = 0.634 = 2.366 Sol: 1 1[] = 1.366 −0.366

 si calcoli la frequenza di antirisonanza del sistema supponendo di applicare una coppia armonica al disco 1;⁄ = Sol:

 si supponga che l’intero sistema stia ruotando alla velocità angolare costante (i vincoli in A e B sono rimossi) quando improvvisamente l’albero viene bloccato nei punti A e B: si calcoli la risposta libera che ne consegue; 0.9905 + 0.1374 Sol: ̇= / 1.353 − 0.0503

 si calcolino infine i valori numerici delle pulsazioni proprie, assumendo i seguenti dati: momento di inerzia disco 1: I = 40.5 kg m²; 1 diametro albero: d = 10 mm, lunghezza di ciascun tratto dell’albero: l = 900 mm, 2 modulo di elasticità tangenziale G = 80000 N/mm².

Sol: rad/s; rad/s;][ = 1.17 = 2.26 2

4. Modello di autovettura a due gradi di libertà

I ,mA G BG k 2k 1l l1 2

Si consideri il modello semplificato di un’autovettura, costituita da un corpo rigido assimilabile ad una trave di massa m e di momento di inerzia baricentrico I , vincolata nei G punti A e B a due molle di costanti elastiche k e k .1 2

Si scrivano le equazioni del moto assumendo come coordinate dapprima lo spostamento verticale del punto A e la rotazione della trave e poi lo spostamento verticale del baricentro G e la rotazione.

Assegnati i seguenti valori numerici:

• Massa della trave: m = 1461 kg; 2
• Momento di inerzia trave: I = 2034 kg·m²;Gr
• Rigidezze: k = 29188 N/m, k = 36485 N/m;1 2
• Lunghezze: l = 1.219 m, l = 1.829 m;1 2

Si calcolino le pulsazioni proprie e le posizioni dei punti nodali.

 [  9.42 rad/s6.12 rad/s

Sol.: primo modo: , 2.862 m a destra del baricentro; secondo modo: , 0.48721m a sinistra del baricentro]

Si ricavi inoltre la risposta libera nel caso di una traslazione verso l’alto Δ imposta a tutta la vettura      0.856 cos t 0.145 cos ty

Sol.: 1 2G        0.2987 cos t 0.2987 cos t    2 1

Infine, introducendo l’effetto di due smorzatori viscosi, si calcolino i fattori di smorzamento,        1a = 0.2  assumendo la distribuzione di smorzamento proporzionale con c m k esb = 0.2s.

   62.83%, 95.26%Sol.: 1 2 3

5. Assorbitore dinamico

mM 0r EI, Lk 2a) m 2b) Momento di inerzia

Sezione b x a s metallica I Ix y2 4 4mm mm cm cm cm2,0 2,640 7,850 1,76050 x 20 3,0 3,840 10,90 2,3302,0 3,040 12,60 2,09060 x 20 3,0 4,440 17,60 2,7602,0 3,840 26,80 2,74080 x 20 3,0 5,640 38,10 3,640

Si supponga di dover montare rigidamente un motore elettrico di massa M = 100 kg su due travi incastrate identiche (vista frontale a), di lunghezza L e con sezione scatolare come riportato nella figura. Le due travi sono disposte parallelamente l