Matematica (corso ordinario) - Traccia

Pag. 1/2 Sessione ordinaria 2011

Seconda prova scritta

Ministero dell’Istruzione dell’Università e della Ricerca

M557 – Esame di Stato di liceo scientifico

Corso di ordinamento

Scientifico

Indirizzo:

Matematica

Tema di:

Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario.

Problema 1

Si considerino le funzioni f e g definite, per tutti gli reali, da:

f g 3

f (x) = x – 4x e g (x) = sen πx

1. Fissato un conveniente sistema di riferimento cartesiano Oxy, si studino f e g e se ne disegnino i rispettivi grafici G_f e G_g.

2. Si calcolino le ascisse dei punti di intersezione di G_f con la retta y = 3. Successivamente, si considerino i punti di G_g a tangente orizzontale la cui ascissa è compresa nell’intervallo [− 6; 6] e se ne indichino le coordinate.

3. Sia R la regione del piano delimitata da G_f e G_g sull’intervallo [0; 2]. Si calcoli l’area di R.

4. La regione R rappresenta la superficie libera dell’acqua contenuta in una vasca. In ogni punto di R a distanza x dall’asse y la misura della profondità dell’acqua nella vasca è data da h(x) = 3 – x. Quale integrale definito dà il volume dell’acqua? Supposte le misure in metri, quanti litri di acqua contiene la vasca?

Problema 2

Sia f la funzione definita sull’insieme dei numeri reali da

R x

− 3

e + 3

f (x) = (ax + b)

dove a e b sono due reali che si chiede di determinare sapendo che f ammette un massimo nel punto d’ascissa 4 e che f (0) = 2.

a = 1 b = − 1

1. Si provi che a = 1 e b = − 1.

2. Si studi su R la funzione f (x) = (x – 1)

   − 3

   e + 3

   e se ne tracci il grafico Г nel sistema di riferimento Oxy.

3. Si calcoli l’area della regione di piano del primo quadrante delimitata da Г, dall’asse y e dalla retta y = 3.

4. Il profitto di una azienda, in milioni di euro, è stato rappresentato nella tabella sottostante designando con x l’anno di osservazione e con y il corrispondente profitto.

   Anno	2004	2005	2006	2007	2008	2009	2010
   x	0	1	2	3	4	5	6
   y	1,97	3,02	3,49	3,71	3,80	3,76	3,65

   i i

   x_i

   y_i

   Si cerca una funzione che spieghi il fenomeno dell’andamento del profitto giudicando accettabile una funzione g definita su R se per ciascun x_i oggetto dell’osservazione si ha: |g(x_i) – y_i| ≤ 10⁻¹. Si verifichi, con l’aiuto di una calcolatrice, che è accettabile la funzione f del punto 2.