Matematica - Scientifico Tradizionale - Traccia

Pag. 1/2 Sessione ordinaria 2010

Seconda prova scritta

Ministero dell’Istruzione dell’Università e della Ricerca

M557 – Esame di Stato di liceo scientifico

Corso di ordinamento

Scientifico

Indirizzo:

Matematica

Tema di:

Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario.

Problema 1

Sia ABCD un quadrato di lato 1, P un punto di AB e γ la circonferenza di centro P e raggio λ.

Si prenda sul lato BC un punto Q in modo che sia il centro di una circonferenza passante per C e tangente esternamente a γ.

1

Se AP = x, si provi che il raggio λ, in funzione di x, è dato da:

λ = ^{1 − x}/_{1 + x}.

2

Riferito il piano ad un sistema di coordinate Oxy, si tracci, indipendentemente dalle limitazioni poste ad x dal problema geometrico, il grafico di f(x).

La funzione f(x) è invertibile? Se sì, quale è il grafico della sua inversa?

3

Sia g(x) = (1 − x)/(1 + x), x ∈ R; quale è l’equazione della retta tangente al grafico di g(x) nel punto (0, 1)? E nel punto (1, 0)? Cosa si può dire della tangente al grafico di g(x) nel punto S?

4

Si calcoli l’area del triangolo mistilineo ROS, ove l’arco RS appartiene al grafico di f(x) o, indifferentemente, di g(x).

Problema 2

Nel piano, riferito a coordinate cartesiane Oxy, si consideri la funzione f definita da:

f(x) = b^x (b > 0, b ≠ 1).

1

Sia G_b il grafico di f relativo ad un assegnato valore di b. Si illustri come varia G_b al variare di b.

2

Sia P un punto di G_b. La tangente a G_b in P e la parallela per P all’asse y intersecano l’asse x rispettivamente in A e in B. Si dimostri che, qualsiasi sia P, il segmento AB ha lunghezza costante. Per quali valori di b la lunghezza di AB è uguale a 1?

3

Sia r la retta passante per O tangente a G_b (e = numero di Nepero). Quale è la misura in radianti dell’angolo che la retta r forma con il semiasse positivo delle ascisse?

4

Si calcoli l’area della regione del primo quadrante delimitata dall’asse y, da G_b e dalla retta d’equazione y = e.