Matematica-Maturità 2013

Pag. 1/3 Sessione ordinaria 2013

Seconda prova scritta

Ministero dell’Istruzione, dell’ Università e della Ricerca

M557 – ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO

CORSO DI ORDINAMENTO

Indirizzo: SCIENTIFICO

Tema di: MATEMATICA

Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario.

PROBLEMA 1 x  



 t 1

∫

= +

  x

f ( x ) cos dt

La funzione è definita da per tutti i numeri reali appartenenti

f  

 

 

2 2

0

[ ]

0

, 9 .

all’intervallo chiuso π π

1. Si calcolino f ' ( ) e f ' ( 2 ) ove f ' indica la derivata di f .

∑

2. Si tracci, in un sistema di coordinate cartesiane, il grafico di f ' ( x ) e da esso si deduca per

x

quale o quali valori di , f (x ) presenta massimi o minimi. Si tracci altresì l’andamento di f (x )

deducendolo da quello di f ' ( x ) . [ ]

π

0

, 2

3. Si trovi il valor medio di f ' ( x ) sull’intervallo . ≤ ≤

∑ x

4. Sia R la regione del piano delimitata da e dall’asse per 0 x 4 ; R è la base di un solido

π

 

( ) =  

x x .

W le cui sezioni con piani ortogonali all’asse hanno, per ciascun , area A x 3 sen x

 

4

Si calcoli il volume di W.

PROBLEMA 2 ( ) 8

=

x

Sia f la funzione definita, per tutti gli reali, da f x + 2

4 x

1. Si studi f e se ne disegni il grafico in un sistema di coordinate cartesiane Oxy Si scrivano le

Φ .

( )

( )

−

P 2

; 1 Q 2

; 1

equazioni delle tangenti a nei punti e e si consideri il quadrilatero convesso

Φ

che esse individuano con le rette OP e OQ . Si provi che tale quadrilatero è un rombo e si

determinino le misure, in gradi e primi sessagesimali, dei suoi angoli.

( )

0

; 1 t

2. Sia la circonferenza di raggio e centro

1 Una retta , per l’origine degli assi, taglia

Γ Γ

. =

y

oltre che in O in un punto A e taglia la retta d’equazione 2 in un punto B. Si provi che,

( )

x x

; y

t

qualunque sia , l’ascissa di B e l’ordinata y di A sono le coordinate di un punto di .

Φ

[ ]

x 0

, 2

3. Si consideri la regione R compresa tra e l’asse sull’intervallo . Si provi che R è

Φ

e si provi altresì che la regione compresa tra e tutto

equivalente al cerchio delimitato da Γ Φ

x

l’asse è equivalente a quattro volte il cerchio.

4. La regione R, ruotando attorno all’asse y , genera il solido W. Si scri