2010 - Liceo scientifico PNI, sessione ordinaria

Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale PNI sessione ordinaria 2010, matematicamente.it

PROBLEMA1     

Nella figura che segue è riportato il grafico di per

g x 2 x 5

essendo g la derivata di una funzione f. Il grafico consiste di tre

 

    9

 

semicirconferenze con centri in e raggi rispettivi

0

,

0 , 3

,

0 , ,

0

 

2

1 .

2

,

1

, 2    

1. Si scriva un’espressione analitica di g x g x

. Vi sono punti in cui

non è derivabile? Se sì, quali sono? E perchè?

  

2. Per quali valori di x, , la funzione f presenta un massimo o

2 x 5

un minimo relativo?

Si illustri il ragionamento seguito.

x

   





3. Se , si determini f(4) e f(1).

f x g t dt

 2

4. Si determinino i punti in cui la funzione f ha derivata seconda nulla.

  ? Qual è l’andamento qualitativo di

f x

Cosa si può dire sul segno di

 

f x ? 1

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RISOLUZIONE

Punto 1  

L’equazione di una circonferenza di centro e raggio R è

C a,b

   

   

2 2 2 che

x a y b R   

   

2

2



b R x a se y b

 

in forma esplicita diventa .

y  

    

2

2



b R x a se y b

Nel caso in esame le tre semicirconferenze hanno le seguenti

espressioni analitiche:   

C 0 ,

0 R 2

Semicirconferenza di centro e raggio

1 1

  2 ;

y 4 x   

Semicirconferenza di centro e raggio

C 3

,

0 R 1

2 2

 

        

2 2

y 1 x 3 x 6 x 8 ;

  1

9 

 

Semicirconferenza di centro e raggio R

C ,

0 3

3   2

2

2

 

1 9

      

  2

y x x 9 x 20 ;

 

4 2  

g x

Di conseguenza la funzione è

    

2

4 x se 2 x 2





        

2



g x x 6 x 8 se 2 x 4

     

2

 x 9 x 20 se 4 x 5

  

g x

La derivata della funzione è 2

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  x   

 se 2 x 2



 2

4 x

 



  x 3

  



g ' x se 2 x 4

  

 2

x 6 x 8

 

9 2 x  

 se 4 x 5

   

 2

2 x 9 x 20     

Calcoliamo il valore delle derivate nei punti :

x 2

, x 2

, x 4

, x 5



  x 2

   

lim g ' x lim 

  

    0

2

x 2 x 2 4 x

 

  x 2

   

lim g ' x lim 

  

  0

2

x 2 x 2 4 x  

  x 3 1

   

lim g ' x lim 

    

  0

2

x 2 x 2 x 6 x 8



  x 3 1

   

lim g ' x lim 

    

  0

2

x 4 x 4 x 6 x 8



  9 2 x 1

   

lim g ' x lim 

    

  0

2

x 4 x 4 2 x 9 x 20

 

  9 2 x 1

   

lim g ' x lim 

    

  0

2

x 5 x 5 2 x 9 x 20

 

g x

Quindi la funzione non è derivabile nei punti

     .

x 2

, x 2

, x 4

, x 5 3

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Punto 2  

Gli estremi relativi della funzione sono da ricercare negli zeri

f x    

  

. Nell’intervallo

della funzione , derivata prima di le

f x 2,

5

g x  

ascisse degli estremi relativi sono .

x 2

, x 4

 

   



In particolare poichè è positiva in e negativa in

2,

2

g x 2,

4



deduciamo che è ascissa di massimo relativo; analogamente

x 2

 

poichè è negativa in

g x

   

e positiva in

2,

4 4

,

5



deduciamo che è

x 4

ascissa di minimo

relativo. x

+ - +

 5

2 4

2

A lato il quadro dei segni massimo minimo

che riassume quanto

detto.

Punto 3 x

   



 rappresenta l’area sottesa dalla funzione

La funzione f x g t dt

 2

   

    

nell’intervallo

g t 2

, x x 2

,

5

con .

4

   





Procediamo al calcolo di . Il valore è pari alla somma

f 4 g t dt

 2  

C 0 ,

0

algebrica tra le aree delle due semicirconferenze di centro e

1

 

 

R 2 C 3

,

0 R 1

raggio e di centro e raggio :

1 2 2 

   

4

    1 1 3

    

         

2 2

f 4 g t dt 2 1 2 .

2 2 2 2

 2 4

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Procediamo al calcolo

1

   





di . Tale

f 1 g t dt

 2

integrale corrisponde

all’area in grigio nella

figura sottostante ed è

calcolable in tre modi

alternativi: tra l’area

1. Differenza

della

semicirconferenza (che

 ) e l’area del

vale 2

triangolo mistilineo

APB; quest’ultima è pari all’area del settore circolare AOP meno l’area

del triangolo OBP.

I punto O, B, A, P hanno rispettivamente coordinate

 

       

; l’angolo P

Ô

A di apertura del

O 0,0 , B 1,0 , A 2,0 , P 1, 3  

  

PB

 

   

arctan arctan 3

settore circolare AOP misura .

 

  3

OB 

 



L’area del settore circolare AOP di ampiezza R 2

e raggio è

1

3



 

 1 1 2

 

       mentre l’area del triangolo OBP è

2

S A

O

P R 4

1

2 2 3 3

 

  OB PB 1 3 3

  

S OBP , per cui

2 2 2

 

1

    2 3 4 3

  

  

      ;

f 1 g t dt 2  

3 2 3 2

 

 2 

 2

 

     

P

Ô

A P

Ô

C

2. Poiché si ha per cui

3 3 3

1

   



 è pari alla somma dell’area di un terzo di cerchio di

f 1 g t dt

 2 5

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 e dell’area del triangolo

raggio OBP, cioè

R 2

1

1

    1 3 4 3

  

      

2 .

f 1 g t dt 2

3 2 3 2

 2 il calcolo esplicito dell’integrale definito; applicando

3. Attraverso  

 

 

l’integrazione per parti all’integrale 2 si ha:

g t dt 4 t dt

 

  

2

4 t 4

2

t

  

       

2 2 2

4 t dt t 4 t dt t 4 t dt

 

2 2

4 t 4 t

4

 

     

2 2

t 4 t dt 4 t dt

 2

4 t 1

t 2 t

   2

        

2 2 2

4 t dt 4 t dt 4 t 2 dt



2 2

2 2

 

4 t t

  

1  

2

 

t t  

   

2  

4 t 2 arcsin C costante

 

2 2

Il valore richiesto è quindi pari a 1

 

 

1 t t

   



    

2  

f 1 g t dt 4 t 2 arcsin

 

 

 

2 2

 

2 2

 

 

3 1  

    

 

 

 

2 arcsin 2 arcsin 1

 

 

2 2

    

 

3 1 3 3

  

           

 

2 arcsin 2 arcsin 1 2 2

 

2 2 2 6 2 2 3

4 3



 

3 2 6

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Punto 4

I flessi sono da ricercare nei punti in cui si annulla la derivata seconda e

 

 

quindi nei punti critici della funzione , derivata prima di .

f x

g x

  9

      

Quindi . Tali flessi sono a tangente

f ' ' x 0 x 0 x 3 x 2

obliqua.

In generale non è possibile definire il segno di una funzione a partire

dalla conoscenza della derivata prima, in quanto le derivate differicono

per una costante; tuttavia se assumiamo come al Punto 3

x    

   

   

 x 2

,

5 f x 0

con , allora osserviamo che in

f x g t dt

 2 x

     



  rappresenta l’area sottesa al grafico di

quanto in 2

,

5 f x g t dt

 2

  .

g x

Con questa assunzione si ha:



2

   



   ;

f 2 g t dt 0

 2 

 1

 

 

1 t t

   



     

2  

f 1 g t dt 4 t 2 arcsin

 

 

 

2 2

 

2 2

 

3 1 2 3

  

    

 

2 arcsin 2 arcsin 1

 

2 2 3 2

alternativamente per simmetria

 

    4 3 2 3

 

   

       

f 1 2 f 1 2 ;

 

3 2 3 2

 

0

    1

  

     cioè pari all’area di un quarto di

2

f 0 g t dt 2

4

 2 

R 2

circonferenza di raggio ;

1 7

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1

    4 3

 

   come calcolato al Punto 3;

f 1 g t dt 3 2

 2

2

    1

  

     cioè pari all’area

2 della

f 2 g t dt 2 2

2

 2   

semicirconferenza di centro e raggio ;

C 0 ,

0 R 2

1 1 

3 2 3

