2012 - Liceo scientifico sperimentale PNI, sessione ordinaria

Problema 1

Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale PNI sessione ordinaria 2012, matematicamente.it

Della funzione f, definita per 0 ≤ x ≤ 6, si sa che è dotata di derivata prima e seconda e che il grafico della sua derivata prima, f'(x), disegnato a lato, presenta due tangenti orizzontali per x = 2 e x = 4.

Si sa anche che f(0) = 9, f(3) = 6, f(5) = 3.

1. Si trovino le ascisse dei punti di flesso di f, motivando le risposte in modo esauriente.

2. Per quale valore di x la funzione f presenta il suo minimo assoluto? Sapendo che ∫₀⁶ f'(t) dt = −5, per quale valore di x la funzione f presenta il suo massimo assoluto?

3. Sulla base delle informazioni note, quale andamento potrebbe avere il grafico di f?

4. Sia g la funzione definita da g(x) = xf(x). Si trovino le equazioni delle rette tangenti ai grafici di f e g nei rispettivi punti di ascissa x = 3 e si determini la misura, in gradi e primi sessagesimali, dell’angolo acuto che esse formano.

Risoluzione

Punto 1

Dal grafico di f'(x) si evince che la derivata prima:

• Si annulla in x = 2 e x = 5;
• È crescente negli intervalli [0, 2] ∪ [4, 6];
• Ha pendenza nulla in x = 2 e x = 4.

Di conseguenza la derivata di f'(x), e cioè f''(x), è positiva in [0, 2] ∪ [4, 6], negativa in [2, 4] e si annulla in x = 2 e x = 4. I punti di flesso di f sono da ricercare nei punti in cui cambia segno f''(x) e quindi in corrispondenza delle ascisse x = 2 e x = 4.

In particolare, poiché f'(2) = 0, il punto con ascissa x = 2 sarà un flesso a tangente orizzontale, mentre, poiché f'(4) = −2, il punto con ascissa x = 4 sarà un flesso a tangente obliqua con pendenza pari a −2.

Le ascisse dei punti di flesso possono essere determinate anche in maniera alternativa. La tangente al grafico di f'(x) in ogni punto x₀ dell’intervallo [0, 6] ha equazione y = f''(x₀)(x − x₀) + f'(x₀); pertanto, poiché i punti di flesso sono i punti in cui la derivata seconda si annulla, questi ultimi vanno ricercati nei punti in cui il coefficiente angolare f''(x₀) della retta tangente al grafico di f'(x) è zero, ovvero nei punti in cui la retta tangente al grafico di f'(x) è orizzontale; questo accade alle ascisse x = 2 e x = 4, come già precedentemente mostrato.

Punto 2

Poiché f(x) è derivabile, e quindi continua, nell’intervallo chiuso e limitato [0, 6], sarà ivi dotata di massimo e minimo assoluto per il teorema di Weierstrass.

Dal grafico deduciamo che f(x) è strettamente decrescente in [0, 5] e strettamente crescente in [5, 6], pertanto assume il suo minimo assoluto in x = 5 e vale f(5) = 3.

Il massimo assoluto può essere assunto in uno degli estremi dell’intervallo [0, 6]. Per ipotesi f(0) = 9, mentre per calcolare f(6), applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale, si ha:

∫₀⁶ f'(t) dt = f(6) − f(0) = f(6) − 9 = −5.

Imponendo f(6) − 9 = −5 si deduce che f(6) = 4. Pertanto, poiché f(6) = 4 < 9 = f(0), il massimo assoluto è assunto in x = 0 e vale f(0) = 9.

Punto 3

Di f(x) sappiamo che:

• Assume solo valori positivi, in quanto è positivo il minimo assoluto;
• Decresce strettamente su [0, 5] da f(0) = 9 a f(5) = 3;
• Cresce strettamente su [5, 6] da f(5) = 3 a f(6) = 4;
• Ha un minimo assoluto in M(5, 3);
• Ha un massimo assoluto in M(0, 9);
• Ha un flesso orizzontale in x = 2 e un flesso a tangente obliqua in x = 4, con pendenza pari a −2.

Quindi il grafico di f potrebbe essere il seguente:

Massimo assoluto 9. Flesso a tangente orizzontale. Flesso a tangente obliqua. Minimo assoluto 3. 0, 2, 4, 5, 6.

Punto 4

Sia g(x) = xf(x). La retta tangente a f in (3, 6) ha equazione y = m(x − 3) + 6, con m = f'(3) = −1, per cui l’equazione della tangente è y = 9 − x.

La retta tangente a g in (3, 18) ha equazione y = m(x − 3) + 18, con m = g'(3). La derivata della funzione g(x) = xf(x) è g'(x) = f(x) + xf'(x), per cui g'(3) = f(3) + 3f'(3) = 6 − 3 = 3; pertanto l’equazione della tangente è y = 3(x − 3) + 18 = 3x + 9.

L’ampiezza dell’angolo acuto è dato dalla formula tan α = |(m_f − m_g)/(1 + m_fm_g)| = 4/2 = 2, dunque α = arctan 2 ≅ 63° 25′ 48″.

Problema 2

Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale PNI sessione ordinaria 2012, matematicamente.it

Siano f e g le funzioni definite da f(x) = e^x e g(x) = ln x.

1. Fissato un riferimento cartesiano Oxy, si disegnino i grafici di f e di g e si calcoli l’area della regione R che essi delimitano tra x = 1 e x = 1.

2. La regione R, ruotando attorno all’asse x, genera il solido S e, ruotando attorno all’asse y, il solido T. Si scrivano, spiegandone il perché, ma senza calcolarli, gli integrali definiti che forniscono i volumi di S e di T.

3. Fissato x₀ > 0, si considerino le rette r e s tangenti ai grafici di f e di g nei rispettivi punti di ascissa x₀. Si dimostri che esiste un solo x₀ per il quale r ed s sono parallele. Di tale valore x₀ si calcoli un’approssimazione arrotondata ai centesimi.

4. Sia h(x) = f(x) − g(x). Per quali valori di x la funzione h(x) presenta, nell’intervallo chiuso 1 ≤ x ≤ 1, il minimo e il massimo assoluti? Si illustri il ragionamento seguito.

Risoluzione

Punto 1

La funzione g(x) = ln x è la classica funzione logaritmica, definita in (0, +∞), interseca l’asse delle ascisse in x = 1, è positiva in (1, +∞), ha x = 0 come asintoto verticale ed è strettamente crescente in tutto il dominio.