2005 - Sessione suppletiva - scuole italiane all'estero, emisfero australe

Soluzioni a cura di Nicola de Rosa

MINISTERO DELL'ISTRUZIONE, DELL'UNIVERSITÀ E DELLA RICERCA

SCUOLE ITALIANE ALL’ESTERO

ESAMI DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO

Sessione suppletiva 2005

Calendario australe

SECONDA PROVA SCRITTA

Tema di Matematica

PROBLEMA 1 = − +

3 .

Si consideri l’equazione y x ax b

1. Γ

Si determinino a e b in modo che la sua curva rappresentativa sia tangente, nel punto A di

Γ.

ascissa –1, alla retta r d’equazione y = 4. Si disegni

2. Γ

La retta r incontra in un altro punto B. Si calcoli l’area della regione di piano delimitata

Γ.

dal segmento AB e da

3. Γ

Si determini l’equazione della retta s per l’origine degli assi che delimita con e con l’asse

y una regione finita di piano, nel secondo quadrante, di area 5/4.

PROBLEMA 2 [ ]

( ) ( ) ( ) π π

= + + ∈ −

f x sin x a cos x b x ,

, con

Sia f la funzione definita da π

=

1. π

Calcolate a e b in modo che x sia punto di massimo relativo e f( /6)=0;

6

2. λ

Tracciate il grafico della funzione così ottenuta e dite se essa ha un massimo assoluto e un

minimo assoluto;

3. λ

Calcolate l’area della regione finita di piano delimitata dalla tangente a nel suo punto di

π

=

λ

ascissa nulla, da e dalla retta x .

2 1

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QUESTIONARIO ( ) ( ) ( )( )

− = −

1. f b f a f ' c b a

L’equazione esprime il teorema del valore medio o di Lagrange.

( ) = 3 2

f x x , a=0 e b=1.

Determinare c quando

2. Un recipiente contiene 1000 litri di liquido. Se è un prisma regolare a base triangolare, quali

ne sono le dimensioni minime, espresse in metri?

3. Quale è il cono di volume massimo inscrivibile in una sfera assegnata?

( ) +

= x 8

4. La funzione f x 10 è invertibile? Perchè? Quale ne è la derivata? In genere, come si

−

1

calcola la derivata della funzione inversa f ?

 

( ) 1

=  

5. Dimostrare che la funzione ha infiniti punti di massimo e minimo relativo in

f x cos  

x

] ]

0

;

1 . In quali punti la funzione assume valore 1 e in quali –1?

( ) ( )

= 3

6. Fra tutte le primitive di f x 3 cos x trovare quella il cui grafico passa per il punto (0,5).

x 2

7. Spiegare perché l’equazione 3 = - x + 5 x – 8 non ammette soluzioni.

3

8. Perché tutte le tangenti alla curva d’equazione y = x + 3x – 4 formano un angolo acuto con

la direzione positiva dell’asse x ? Illustra le ragioni della tua risposta.

_________________________

Durata della prova: 6 ore.

Non è consentito lasciare l’Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla dettatura del

tema.

È consentito l’uso della calcolatrice non programmabile. 2

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PROBLEMA 1 = − +

3

Si consideri l’equazione y x ax b .

Punto 1

Si determinino a e b in modo che la sua curva rappresentativa sia tangente, nel punto A di

Γ

ascissa –1, alla retta r d’equazione y = 4. Si disegni Γ.

La tangente nel punto A di ascissa -1 ha equazione y = 4 di coefficiente angolare nullo. Tale

= −

coefficiente angolare è pari alla derivata prima della funzione valutata in x 1 e cioè è pari a

( )

= − = − =

2

m 3 x a 3 a ed imponendo che sia nullo si ricava a 3 .

= −

x 1 − + + = = =

Inoltre la curva passa per A(-1,4), per cui si ha 1 a b 4 e poiché a 3 si ha b 2 , La

( ) ( )

= − + = − +

2

3

cubica è allora y x 3 x 2 x 1 x 2 .

( ) ( )

= − + = − +

2

3

Studiamo la funzione y x 3 x 2 x 1 x 2

Dominio: R ( ) ( )

= − + = − + = = = −

⇒

2

3

y x 3 x 2 x 1 x 2 0 x 1

, x 2

Intersezioni asse x: = =

⇒

Intersezioni asse y: x 0 y 2

Eventuali simmetrie: la curva non è ne pari ne dispari

] [ ] [

( ) ( )

= − + > ⇔ ∈ − ∪ +∞

2

Positività: y x 1 x 2 0 x 2

,

1 1

,

Asintoti verticali: la funzione non presenta asintoti verticali

Asintoti orizzontali: per come è definita la funzione non presenta asintoti orizzontali in quanto

− + = ±∞

3

lim x 3 x 2

→ ±∞

x

Asintoti obliqui: per come è definita la funzione non presenta asintoti obliqui ( )

= − + = −

3 2

Crescenza e decrescenza: la derivata prima della funzione y x 3 x 2 è y ' 3 x 1 per cui la

] [ ] [ ] [

− ∞ − ∪ +∞ −

, 1 1

, 1

,

1

funzione è strettamente crescente in e strettamente decrescente in .

= − + =

3

y x x è y ' ' 6 x per cui la

Concavità e convessità: la derivata seconda della funzione 3 2

] [

] [

+∞ − ∞ =

0

, ,

0

funzione è concava in e convessa in e si annulla in x 0 in cui la curva presenta un

( ) ( )

= > − = − <

y ' ' 1 6 0

, y ' ' 1 6 0

flesso a tangente obliqua. Inoltre per cui (-1,4) è un massimo relativo

e (1,0) è un minimo relativo.

Il grafico della funzione è di seguito riportato: 3

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Punto 2

La retta r incontra in un altro punto B. Si calcoli l’area della regione di piano delimitata dal

Γ

segmento AB e da Γ. = − + =

3

L’ulteriore intersezione di y x 3 x 2 con y 4 si calcola risolvendo l’equazione

( )

+

− + = − − = − −

⇒

3 3 3 x 1

x 3 x 2 4 x 3 x 2 0 . Un divisore di x 3 x 2 è certamente , ed essendo in

= − = − −

3

x 1 la funzione tangente alla retta y 4 possiamo dire che un divisore di x 3 x 2 è

( ) ( ) ( )

+ − − + −

2 2

3

x 1 , per cui possiamo scomporre x 3 x 2 come x 1 x 2 per cui l’ulteriore

certamente

punto di intersezione è B(2,4). 4

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L’area da calcolare è rappresentata in verde e vale:

2

[ ]

( )  

2  

4 2 ( )

3 1 3 3 27

x x

∫

= − − + = − + + = −