2007 - liceo scientifico - scuole italiane all'estero - calendario australe

Sessione ordinaria 2007 in America Latina Soluzioni di Nicola De Rosa

( ) ( ) 1

= + =

In particolare la funzione F x 2 log x 1 interseca l’asse delle ascisse in b mentre la

10 10

( ) ( )

= − + =

funzione G x 2 log x 1 interseca l’asse delle ascisse in c 10 . I grafici sono di seguito

10

presentati in un unico sistema di riferimanto cartesiano:

Punto 3

Si calcoli l’area del triangolo mistilineo di base l’intervallo [b, c] e vertice il punto

d’intersezione tra F e G e, con l’aiuto di una calcolatrice, se ne dia un valore approssimato.

( )

1

,

1 e l’area da calcolare è rappresentata in verde nella

Le due curve F e G si intersecano nel punto

figura di seguito presentata:

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Tale area vale:

1 10

[ ] [ ]

( ) ( )

∫ ∫

= + + − + =

S 2 log x 1 dx 2 log x 1 dx

10 10

1 1

10

10 1 10

[ ] [ ]

( ) ( )

∫ ∫ ∫

= + − =

dx 2 log x dx 2 log x dx

10 10

1 1 1

10 10

  [ ] [ ]

( ) ( )

1 2 2

= − + − − − =

1 10

 

10 x ln x 1 x ln x 1

  1 1

  ln 10 ln 10

10 10 [ ]

{ ( ) }

 

 

   

 

[ ] [ ]

1 2 1 1 2

= − + − − − − − − − =

   

 

 

10 1 ln 1 10 ln 10 1 1

   

 

   

ln 10 ln 10

 

10 10 10  

   

1 2 1 1 2 10

  =

= − + − + + − − +

   

10 1 ln 10 1 10 ln 10

     

   

ln 10 ln 10 2

 

10 10 2 10  

     

−

 

1 2 1 9 10 9 10 2 11 2 10 9 10

     

= − + + − − = − =

+

   

10 10 2 ln 10

       

   

ln 10 20 10 ln 10 10

     

10 10 10

 

 

−

11 10 20

 

=  

5 ln 10

 

Numericamente, calcolatrice alla mano, tale area vale 1.28421.

Punto 4

( ) = 2

Sia g x x Si determini il valore di a per cui f e g hanno la stessa tangente nel punto di

.

ascissa 1. ( ) ( ) ( ) ( )

= = + = 2

P 1

,

1 per cui f x a log x 1 e g x x avranno stessa tangente in

Il punto di ascissa 1 è 10

( ) ( ) ( )

= = +

P 1

,

1 se il coefficiente angolare della tangente alla curva rappresentata da f x a log x 1 è

10

( ) = 2

uguale a quello della tangente alla parabola g x x .

Il coefficiente angolare è il valore della derivata prima nel punto di ascissa, per cui

  

a a

= =

m

  

⋅ = ⇔ =

f ⇒

 

 x ln 10 ln 10 m m a 2 ln 10

=

x 1 f g

[ ]

 = =

m 2 x 2

 =

x 1

g ( )

= − + = −

y 2 x 1 1 2 x 1

In tal caso la retta tangente ha equazione . ( ) ( )

= ⋅ +

Di seguito vengono rappresentate nello stesso grafico le funzioni f x 2 ln 10 log x 1 ,

10

( ) = = −

2

g x x e la retta tangente y 2 x 1 .

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PROBLEMA 2

Si consideri la funzione f così definita: −

 2

4 x ≤

se x 1





( ) 3

= 

f x 1

 ≥

se x 1



 x

Punto 1

Si disegni il grafico di f ;

Il grafico della funzione −

 2

4 x ≤

se x 1





( ) 3

= 

f x 1

 ≥

se x 1



 x ] ]

− ∞ ,

1

è l’unione di due grafici; il primo nell’intervallo è il grafico di una parabola con concavità

  ( )

4 −

=   2

,

0

verso il basso, vertice in , mentre il secondo

e che interseca l’asse delle ascisse in

V 0

,

 

3

[ [

+∞ =

1

,

nell’intervallo è il ramo di iperbole equilatera di equazione xy 1 . Il grafico della funzione

richiesta è rappresentato in rosso nella figura seguente:

Nella figura soprastante sono stati rappresentati entrambi i grafici delle due funzioni componenti la

( )

f x

funzione ; in particolare la parte in blu rappresenta la parte di grafico di iperbole equilatera da

[ [

+∞

1

,

non considerare in quanto non facente parte dell’intervallo , mentre la parte di grafico in verde

rappresenta la parte di grafico della parabola da non considerare in quanto non facente parte

] ]

− ∞ ,

1 . Il grafico in rosso è quello che rappresenta la funzione richiesta.

dell’intervallo

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Punto 2

Si dica se f soddisfa le condizioni del teorema del valor medio [o teorema di Lagrange – da

Giuseppe Lagrange (Torino, 25 gennaio 1736 – Parigi, 10 aprile 1813)] sull’intervallo [0,2] e

quali sono, se esistono, gli eventuali valori medi in tale intervallo.

Il teorema di Lagrange (o del valor medio) afferma che se una funzione reale di variabile reale è

continua in un intervallo [a; b] e derivabile in (a; b), esiste almeno un punto interno all'intervallo in

cui la tangente al grafico della funzione è parallela alla retta che congiunge i punti del grafico

corrispondenti agli estremi dell'intervallo [a;b]. Questa è l’interpretazione geometrica del teorema di

Lagrange.

In modo più formale:

[ ] →

• f : a , b R

Sia

• continua in [a, b]

• derivabile in (a, b) −

( ) ( ) f (

b ) f ( a )

∃ ∈ =

'

allora in queste ipotesi c a , b : f c .

−

b a

Dopo aver enunciato il teorema di Lagrange ed averlo interpretato geometricamente, mostriamo

come esso sia applicabile alla funzione −

 2

4 x ≤ 1

x



 3

= 

( )

f x 1

 ≥ 1

x



 x

=

La funzione è continua in x 1 ; infatti 1

= =

lim f ( x ) lim 1

+ +

→ → x

x 1 x 1 −

 

2

4 x

= =

 

lim f ( x ) lim 1

 

− −

→ → 3

 

x 1 x 1

Inoltre la derivata della funzione è  x

2

− ≤

x 1



 3

= 

f x

' ( ) 1

 − ≥

x 1



 2

x

per cui

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 

1

= − = −

 

f x

lim ' ( ) lim 1

2

+ +  

→ → x

x 1 x 1  

x

2 2

= − = −

 

f x

lim ' ( ) lim

− −  

→ → 3 3

x 1 x 1

=

da cui si ricava la non derivabilità in f (x ) è continua [0,2] e non

x 1 . Quindi la funzione

( )

=

x 1∈ 0

, 2

derivabile in ; ergo ad essa non è applicabile il teorema di Lagrange.

Punto 3

Il dominio piano del II quadrante delimitato dal grafico di f e dagli assi coordinati è la base di

un solido S le cui sezioni, ottenute tagliando S con piani perpendicolari all’asse y, sono tutte

quadrati. Si calcoli il volume di S.

− 2

x

4 = ± −

= x 4 3 y

g x

( )

La funzione può essere espressa in forma implicita nel modo seguente:

3

e la determinazione negativa è quella che a noi interessa in quanto facente parte del secondo

quadrante. 4

= − − ≤ ≤

l ( y ) 4 3 y con 0 y e la cui area è

La sezione piana del solido è il quadrato di lato 3

( ) ( ) 4

2

= − − = − ≤ ≤

A

( y ) 4 3 y 4 3 y con 0 y , per cui il volume del solido richiesto è:

3

4 4

 

3 2

( ) y

3 16 16 8

3

∫

= − = − = − =

V y dx y

4 3 4

 

2 3 6 3

 

0 0

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QUESTIONARIO

Quesito 1

Si traccino i grafici delle seguenti funzioni di R in R:

+ −

→ → + → →

x

x 1 x x

f : x 3 ; g : x 3 1

; h : x 3 ; k : x 3 = x

y 3 sotto presentato:

I grafici da disegnare si possono tutti ricondurre al grafico della funzione

Studiamo i 4 grafici.

+

= = ⋅ = =

x 1 x x

1. f ( x ) 3 3 3 3 y per cui il grafico lo si ricava dal grafico di y 3 moltiplicando

ogni ordinata per 3 :

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= + = + =

x x

2. g ( x ) 3 1 y 1 per cui il grafico lo si ricava dal grafico di y 3 traslandolo

rigidamente verso l’alto di una unità, cioè aggiungendo una unità ad ogni ordinata del

= x

grafico di y 3 : ≥

 x



3 x 0 −

=

= =

x x



3. . Ora la funzione k ( x ) 3 non è altro che la funzione pari

h ( x ) 3 − <

 x

3 x 0 −

= = =

x x x

della funzione y 3 , per cui il grafico di k ( x ) 3 lo si ricava da quello di y 3

rendendolo simmetrico rispetto all’asse delle ordinate come sotto presentato:

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−

= =

x x

4. k ( x ) 3 : come detto nel punto 3 tale grafico lo si ricava da quello di y 3

rendendolo simmetrico rispetto all’asse delle ordinate:

Quesito 2 59

Quante cifre ha il numero nella rappresentazione decimale? Motiva esaurientemente la

5

risposta.

In generale il numero di cifre K di un numero N nella rapprersentazione in base M è pari a

[ ] ( )

{ ( ) }

= + ⋅

K 1 int log N int

dove la funzione è la funzione parte intera di un numero. Nel caso di

M [ ]

{ ( ) } [ ] [ ]

{ ( ) } { }

= = = + = + ⋅ = + = + =

59

59

N M K 1 int log 5 1 int 59 log 5 1 int 41 . 2 1 41 42 .

5 , 10 si ha 10 10

Quesito 3

Si consideri una sfera di volume V e superficie S. Si dimostri che il tasso di variazione di V

rispetto al raggio è uguale a S. π 3

4 R π

= = 2

Il volume di una sfera di raggio R è V e la superficie è 4 . Ora il tasso di variazione

S R

3

del volume V rispetto al raggio, matematicamente non è altro che la derivata prima del volume

π

 

3

dV d 4 R π

= = =

  2

4 R S c.v.d

rispetto al raggio, per cui  

dR dR 3

 

Quesito 4  

m

 

Si illustrino il significato e l’ambito di utilizzo del simbolo e si risolva l’equazione:

 

 

n

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−

   

x x 1

= ∈

   

2 3 con x N

   

   

2 2

   

m

m !

m

≥ =

   

Il coefficiente binomiale con è definito come ed è utilizzato per il

m n

    ( )

⋅ −

   

n

n ! !

n m n

calcolo dello sviluppo di un binomio, mediante la formula di Newton, ma soprattutto nel calcolo

combinatorio. A tale scopo, può convenire osservare che il coefficiente binomiale è anche il rapporto

tra il numero delle funzioni iniettive da un insieme di cardinalità in uno di cardinalità (ovvero il

n m

numero delle disposizioni semplici di oggetti di classe ) ed il numero delle permutazioni di

m n n

oggetti. ≥

 x 2

−

    

1

x x − ≥ ∈ ≥

=

    ⇒

 x 1 2 x N | x 3

Per l’equazione bisogna innanzitutto imporre ; inoltre

2 3

   

   

2 2  ∈

x N



( ) ( ) ( )

−

− ⋅ − ⋅ −

   

1

x x

1 2 1

x x x x

= =

   

ricordando che si ha:

,

   

   

2 2

2 2

( ) ( ) ( )

− − ⋅ − ⋅ −

        Dividendo

1

x x ( )

1 2 1 3

x x x x ( )

>

= ⇔ = 

 



→ = − =

    ⇒

per x-

1 0

2 3 2 3 2 6 che è

x x x

       

   

   

2 2 2 2 2

∈ ≥

accettabile in quanto soddisfa la condizione x N | x 3 . Effettuiamo la prova:

( )

− ⋅

   

6 6 1 6

⋅ = ⋅ =

 

2 30

,

2

   



 

2 2

( ) ( )

− ⋅ −

   

5 6 2 6 1

⋅ = =

 

3 3 30 c.v.d

   



 

2 2

Quesito 5

La capacità di un serbatoio è la stessa di quella del cilindro circolare retto di volume massimo

inscrivibile in una sfera di 2 metri di diametro. Quale è la capacità in litri del serbatoio?

Si consideri la figura seguente che mostra la geometria del problema:

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= < <

Poniamo OH x , con 0 x 1 . )

( ( ) ( )

( ) 2 2

π

= ⋅ ⋅ = − 2

V x HB OH HB x

Il volume del cilindro è 2 con 1 per cui

)

( ( ) [ ]

( )

( ) 2

π π

= ⋅ ⋅ = ⋅ − < <

2

V x HB OH x x

2 2 1 con 0 x 1 Massimizziamo il volume attraverso il

.

calcolo delle derivate prima e seconda:

[ ]

( )

( ) π

= ⋅ − 2

V ' x 2 1 3 x

( ) π

= − ⋅

V ' ' x 12 x

Ora  

[ ]

( )

( ) 3 3

π  

= ⋅ − > < <

⇒ ⇒

2

V ' x 2 1 3 x 0 0 x V strettamen

te crescente in 0,

 

3 3

 

 

[ ]

( )

( ) 3 3

π  

= ⋅ − < < <

⇒ ⇒

2

V ' x 2 1 3 x 0 x 1 V strettamen

te decrescent

e in ,

1

 

3 3

 

[ ]

( )

( ) 3 3

π

= ⋅ − = = =

⇒ ⇒

2

V ' x 2 1 3 x 0 x x è l' ascissa di massimo relativo

3 3

  [ ]

3 π π

  = − ⋅ = − <

V ' ' 12 x 4 3 0

3

  =

x

3

  3 3

=

x

Dalle considerazioni di cui sopra deduciamo che il volume è massimo per e vale

3

 

 

2 π π

      [ ] [ ]





( ) 3 3 3 4 3 4000 3

 

π  

   

= = ⋅ − = =

3 3

V x V 2 1 m dm . Poiché

     

 

max  

3 3 3 9 9

 

   

 

 

π [ ] [ ]

( ) 4000 3

= = =

3 V x