2007 - liceo scientifico - scuole italiane all'estero - calendario australe

Sessione ordinaria 2007 in America Latina. Soluzioni di Nicola De Rosa

Ministero della Pubblica Istruzione

Scuole italiane all’estero

Esami di Stato di liceo scientifico

Sessione ordinaria 2007

Calendario australe

Seconda prova scritta

Tema di matematica

Il candidato risolva uno dei due problemi e 4 quesiti del questionario.

Problema 1

Sia f la funzione definita da: f(x) = a log₁₀(x + 1), ove a è un parametro reale.

1. Dopo aver precisato il campo di esistenza di f si stabilisca per quali valori di a la funzione f è crescente.

2. Si disegnino i grafici F e G di f corrispondenti, rispettivamente, ai valori a = 2 e a = −2 e siano b e c le ascisse delle loro rispettive intersezioni con l’asse x.

3. Si calcoli l’area del triangolo mistilineo di base l’intervallo [b, c] e vertice il punto d’intersezione tra F e G e, con l’aiuto di una calcolatrice, se ne dia un valore approssimato.

4. Sia g(x) = x². Si determini il valore di a per cui f e g hanno la stessa tangente nel punto di ascissa 1.

Problema 2

Si consideri la funzione f così definita:

f(x) =



x² − 4x se x ≤ 1







1/x³ se x ≥ 1







1. Si disegni il grafico di f;

2. si dica se f soddisfa le condizioni del teorema del valor medio [o teorema di Lagrange – da Giuseppe Lagrange (Torino, 25 gennaio 1736 – Parigi, 10 aprile 1813)] sull’intervallo [0,2] e quali sono, se esistono, gli eventuali valori medi in tale intervallo.

3. Il dominio piano del II quadrante delimitato dal grafico di f e dagli assi coordinati è la base di un solido S le cui sezioni, ottenute tagliando S con piani perpendicolari all’asse y, sono tutte quadrati. Si calcoli il volume di S.

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Questionario

1. Si traccino i grafici delle seguenti funzioni di R in R:

x → x + 3; f: x → x + 1; g: x → x − 3; h: x → x³; k: x → x³

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2. Quante cifre ha il numero 5 nella rappresentazione decimale? Motiva esaurientemente la risposta.

3. Si consideri una sfera di volume V e superficie S. Si dimostri che il tasso di variazione di V rispetto al raggio è uguale a S.

4. Si illustrino il significato e l’ambito di utilizzo del simbolo



m







n



e si risolva l’equazione:



x



2

 − 

x − 1



3

 = 2 con x ∈ N









5. La capacità di un serbatoio è la stessa di quella del cilindro circolare retto di volume massimo inscrivibile in una sfera di 2 metri di diametro. Quale è la capacità in litri del serbatoio?

6. Dato un tetraedro regolare, si costruisca il tetraedro regolare avente per vertici i centri delle facce del primo. Si dimostri che ogni faccia di un tetraedro è parallela ad una faccia dell’altro.

7. Si dia una definizione di «asintoto» – orizzontale, obliquo, verticale – di una curva e si fornisca un esempio di funzione f(x) il cui grafico presenti un asintoto orizzontale e due asintoti verticali.

8. La risoluzione di un problema assegnato conduce all’equazione k sin² x + k cos² x = 1 ove k > 0 e 0 ≤ x ≤ π/3. Si discutano le possibili soluzioni del problema.

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Problema 1

Sia f la funzione definita da: f(x) = a log₁₀(x + 1), ove a è un parametro reale.

Punto 1

Dopo aver precisato il campo di esistenza di f si stabilisca per quali valori di a la funzione f è crescente.

Il dominio della funzione f(x) = a log₁₀(x + 1) è (−1, +∞) e, trattandosi di una funzione logaritmica traslata verticalmente di una quantità unitaria, essa è soggetta a un cambiamento di scala di fattore a.

f è strettamente crescente se a ∈ (0, +∞), a è strettamente decrescente se a ∈ (−∞, 0). In particolare sarà strettamente crescente se a > 0, sarà costante e coincidente con la retta y = 1 se a = 0.

Punto 2

Si disegnino i grafici F e G di f corrispondenti, rispettivamente, ai valori a = 2 e a = −2 e siano b e c le ascisse delle loro rispettive intersezioni con l’asse x.

I grafici F e G di F(x) = 2 log₁₀(x + 1) e G(x) = −2 log₁₀(x + 1) possono essere ricavati a partire dal grafico della funzione elementare h(x) = log₁₀(x).

I passi da seguire per tracciare il grafico di F(x) = 2 log₁₀(x + 1) sono i seguenti:

• Si traccia il grafico di h(x) = log₁₀(x);
• Si moltiplicano per 2 le ordinate di h(x) = log₁₀(x), lasciando immutate le ascisse, ottenendo il grafico di 2 log₁₀(x);
• Si trasla rigidamente e verticalmente verso l’alto di una unità il grafico di 2 log₁₀(x), ottenendo il grafico di F(x) = 2 log₁₀(x + 1).

I passi da seguire per tracciare il grafico di G(x) = −2 log₁₀(x + 1) sono i seguenti:

• Si traccia il grafico di h(x) = log₁₀(x);
• Si ribalta il grafico di h(x) = log₁₀(x) rispetto all’asse delle ordinate ottenendo il grafico di −h(x) = −log₁₀(x);
• Si moltiplicano per 2 le ordinate di −h(x) = −log₁₀(x), lasciando immutate le ascisse, ottenendo il grafico di −2 log₁₀(x);
• Si trasla rigidamente e verticalmente verso l’alto di una unità il grafico di −2 log₁₀(x), ottenendo il grafico di G(x) = −2 log₁₀(x + 1).

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In particolare la funzione F(x) = 2 log₁₀(x + 1) interseca l’asse delle ascisse in b = 1/100, mentre la funzione G(x) = −2 log₁₀(x + 1) interseca l’asse delle ascisse in c = 10. I grafici sono di seguito presentati in un unico sistema di riferimento cartesiano:

Punto 3

Si calcoli l’area del triangolo mistilineo di base l’intervallo [b, c] e vertice il punto d’intersezione tra F e G e, con l’aiuto di una calcolatrice, se ne dia un valore approssimato.

Le due curve F e G si intersecano nel punto (1, 1) e l’area da calcolare è rappresentata in verde nella figura di seguito presentata:

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Tale area vale:

S = ∫_1/10¹ [2 log₁₀(x) + 1] dx + ∫₁¹⁰ [−2 log₁₀(x) + 1] dx

= ∫_1/10¹⁰ 2 log₁₀(x) dx

= [2/ln 10 · x ln x − x]_1/10¹⁰