2005 - liceo scientifico - scuole italiane all'estero - Europa

www.matematicamente.it Nicola De Rosa

Ministero dell'Istruzione, dell'Università e della Ricerca

Scuole italiane all’estero

Esami di Stato di liceo scientifico

Sessione ordinaria a.s. 2004/2005

Seconda prova scritta

Tema di matematica

Il candidato risolva uno dei due problemi e 4 quesiti del questionario.

Problema 1

( ) = − +

3 2

f x x 6 x k dove k è una costante arbitraria.

La funzione f è definita da

1. Si trovino, in funzione di k, i valori di minimo e massimo relativo di f.

2. Per quali valori di k, f ha tre zeri reali distinti?

3. Si trovi il valore di k tale che il valor medio di f nell’intervallo chiuso [-1, 2] sia 1.

4. Si determini l’area della regione finita delimitata dal grafico di f e dall’asse x quando k=32.

Problema 2

λ = −

= +

2 y x 1

Siano date la parabola e la retta r d’equazioni rispettive y x 1 e

λ

1. Quale è la distanza minima tra e r? E quale ne è il valore?

λ

2. Siano A e B i punti d’intersezione di con la retta s d’equazione y = x + 3, si determini il punto

P appartenente all’arco AB tale che il triangolo ABP abbia area massima 4 dell’area del

3. Si determini l’area del segmento parabolico di base AB e si verifichi che essa è 3

triangolo ABP.

4. Si determini il volume del solido generato dalla rotazione completa del segmento parabolico di

base AB attorno all’asse x.

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Questionario

1 e ragione

la somma di n termini in progressione geometrica di primo termine

1. Indicata con S n 2

S

1 n

si calcoli il lim

→ ∞

2 n

n

2. Una piramide ha la base quadrata e l’altezza uguale a.

8 cm

Quanti piani paralleli alla base dividono la piramide in due parti i cui volumi sono nel rapporto 7:1? Quali sono le distanze di tali piani dal vertice della piramide?

3. Un recipiente contiene 1000 litri di liquido. Se è un parallelepipedo a base quadrata, quali ne sono le dimensioni minime?

4. Quale è il cilindro di volume massimo inscrivibile in una sfera assegnata?

−

1

è? Come si calcola la derivata della funzione inversa? Fai

5. Quando una funzione f invertibile f

un esempio.

6. Spiegare come utilizzare il teorema di Carnot per trovare la distanza tra due punti accessibili ma separati da un ostacolo.

⎛ ⎞

⎛ ⎞

2 1

+

= ⎜ ⎟

⎜ ⎟

7. Trovare il periodo della funzione: sin sin

y x x

⎝ ⎠

⎝ ⎠

3 4

8. Dimostrate che la somma di qualsiasi numero reale positivo e del suo reciproco è almeno 2

___________________________

Durata massima della prova: 6 ore.

È consentito soltanto l’uso di calcolatrici non programmabili.

Non è ammesso lasciare l’aula degli esami prima che siano trascorse tre ore dalla dettatura del tema.

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Problema 1

( ) = − +

3 2

f x x 6 x k

La funzione f è definita da dove k è una costante arbitraria.

Punto 1

Si trovino, in funzione di k, i valori di minimo e massimo relativo di f.

( ) = − +

3 2

La funzione f x x 6 x k è una cubica definita in tutto R le cui derivate prima e seconda

( ) ( )

= − = −

2

f ' x 3 x 12 x e f '' x 6 x 12. In particolare si ha:

sono rispettivamente

( ) ( ) ( )

= − > ⇒ < ∨ > ∞ ∪ +∞

2

f x x x x x

' 3 12 0 0 4 cioè la funzione è strettamente crescente in −, 0 4,

( ) ( )

= − < ⇒ < <

2 in 0,4

f x x x x

' 3 12 0 0 4 cioè la funzione è strettamente decrescente

e

( ) = − = ⇒ = ∨ =

2

' 3 12 0 0 4

f x x x x x

( ) = − = ⇒ =

' ' 6 12 0 2 è ascissa di flesso a tangente obliqua

f x x x

( ) = − < =

⎧ ⎧

' ' 0 12 0 0 ascissa di massimo relativo proprio

f x

⇒

⎨ ⎨

( ) = > =

⎩ ⎩

' ' 4 12 0 4 ascissa di minimo relativo proprio

f x

( ) = − +

3 2

f x x 6 x k presenta un

Dalle considerazioni sopra effettuate deduciamo che la funzione

( ) ( )

≡ ≡ −

M 0

, k m 4

,.

k 32

massimo relativo in, un minimo relativo in e un flesso a tangente obliqua

( )

≡ −

in.

F 2

,.

k 16

Punto 2

Per quali valori di k, f ha tre zeri reali distinti?

⎧ = −

2 3

y x x

6 = −

2 3

⎨

Per rispondere al quesito risolviamo il sistema seguente: . La cubica y 6 x x è

=

⎩ y k

definita in tutto R, interseca l’asse delle ascisse in (0,0) e (6,0), quello delle ordinate in (0,0), è

≤

positiva o uguale a zero per, non presenta asintoti e presenta un minimo in (0,0), un massimo

x 6 =

y k è una retta parallela all’asse delle

in (4, 32) ed un flesso a tangente obliqua in (2,16). La retta = −

2 3

y x x

6 e le rette di

ascisse. Rappresentiamo in un unico sistema di riferimento la cubica

= = = = −

y 30

, y 32

, y 33

, y 2:

equazione

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Dal grafico soprastante si evidenziano le seguenti soluzioni:

< ∨ > <

1. 1 soluzione per. In particolare per l’unica soluzione è positiva mentre

k 0 k 32 k 0

>

per è negativa;

k 32 = ∨ = =

2. 3 soluzioni di cui due coincidenti per. In particolare per le tre soluzioni

k 0 k 32 k 0

= = = = −

=

x 0 doppia e x 6 x 4 doppia e x 2

sono, mentre per le tre soluzioni sono;

k 32

< <

3. 3 soluzioni distinte per di cui due positive ed una negativa.

0 k 32

( ) = − +

< < 3 2

Quindi per la funzione f x x 6 x k ha 3 zeri reali distinti.

0 k 32

Punto 3

Si trovi il valore di k tale che il valor medio di f nell’intervallo chiuso [-1, 2] sia 1.