1998 - Sessione suppletiva PNI problema 1

Problema 1: sessione suppletiva PNI 1998

Soluzione a cura di Nicola de Rosa

In un piano riferito a un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy si considerino i punti A(2, 0) e P(x, 0).

Il candidato:

• Esprima in funzione di x le funzioni s(x) = PO + PA e d(x) = PO − PA, distinguendo le posizioni occupate dal punto P;
• Tracci le linee di equazione y = s(x) e y = d(x);
• Tracci, quindi, la linea C di equazione y = s(x) / d(x);
• Determini la misura degli angoli formati dalle rette tangenti a C nei suoi punti angolosi;
• Calcoli l’area della regione finita di piano compresa tra C e la retta di equazione y = 2.

Risoluzione

Punto a

Esprima in funzione di x le funzioni s(x) = PO + PA e d(x) = PO − PA, distinguendo le posizioni occupate dal punto P.

I punti A(2, 0) e P(x, 0) si trovano posizionati entrambi sull’asse delle ascisse, per cui:

PO = |x|

PA = |x − 2|

Di conseguenza:

s(x) = PO + PA = |x| + |x − 2|

d(x) = PO − PA = |x| − |x − 2|

In particolare, poiché:

|x| =

e:

|x − 2| =

le due funzioni possono essere scritte nel modo seguente:

s(x) = |x| + |x − 2| =

d(x) = f(x) =

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Punto b

Tracci le linee di equazione y = s(x) e y = d(x).

Il grafico di:

s(x) =

è di seguito presentato:

d(x) = PO − PA = f(x) =

Il grafico di f(x) lo si ricava dal grafico di s(x) ribaltando verso le ordinate positive le parti di grafico al di sotto dell’asse delle ascisse.

Il grafico di f(x) è di seguito presentato:

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