Esercizi parabola

Esercizi sulle parabole

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1. Intersezioni, tangenti e aree

È data la parabola di equazione y = -x² + 8x – 12.

a. Determina le coordinate dei punti di intersezione con la retta di equazione y = 3.

b. Scrivi le equazioni delle tangenti alla parabola nei punti A e B e le coordinate del loro punto di intersezione C.

c. Trova il rapporto tra l’area del triangolo ABC e quella del rettangolo con un lato sull’asse x, inscritto nella parabola e avente due vertici in A e B.

Sol. A(3; 3), B(5; 3), t_A: 2x – y – 3 = 0, t_B: 2x + y – 13 = 0; C(4; 5), rapp. = 1/3.

A B

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2. Rettangolo inscritto nel segmento parabolico

Data la parabola y = -2x² - 4x + 4, inscrivi nel segmento parabolico limitato dalla parabola e dall’asse x un rettangolo che abbia l’altezza di lunghezza doppia della base.

Sol. A(-2; 0), B(0; 0); C(0; 4); D(-2; 4).

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3. Fascio di parabole

Dato il fascio di equazione y = (2k + 1)x – kx² – k – 1, determina il parametro k in modo che:

a. la parabola sia tangente alla retta y = 2x - 1 nel punto di ascissa uguale a 2.

b. la parabola abbia il vertice sulla retta x – y – 1 = 0.

Sol. domanda b.: k = 0 oppure k = -2/3.

4. Parabola con vertice assegnato

Una parabola ha il vertice nel punto V (-1; 8) e stacca sull’asse x una corda di misura 4. Scrivi l’equazione della parabola. Sul ramo di parabola appartenente al secondo quadrante determina il/i punto/i che abbiano dalla bisettrice del primo e terzo quadrante distanza di misura.

4√2

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Sol. y = -2x² – 4x + 6; P(-2; 6), Q(-1/2; 15/2).

5. Fuoco e direttrice

In una parabola di equazione y = ax² + bx + c la distanza tra il fuoco e la direttrice misura:

2 2

   

b ac b ac

4 1 4 1

 

a. b.

2 2

a a

4 4

1 1

c. d.

2a 4a

6. Parabola con valore assoluto

Rappresentare la parabola y = x² - | 2x – 1 | nel piano cartesiano. Considerata una retta generica parallela all’asse x, discutere il numero delle soluzioni al variare di questa retta nel piano cartesiano.

  

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y = kx – 4kx

1. Parabole simmetriche

Data la parabola, scrivere l’equazione della parabola simmetrica della prima rispetto all’asse x.

Siano O e A le intersezioni delle due parabole, determinare k in modo che il quadrilatero OV₁AV₂ abbia area uguale 32, dove V₁ e V₂ sono i vertici delle due parabole.

Determinare i vertici del quadrilatero che ha i lati paralleli al quadrilatero OV₁AV₂ e tangenti alle parabole.

Calcolarne l’area.

2. Circonferenze tangenti alla parabola

  

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y = x² – 8x

È data la parabola. Determinare le circonferenze tangenti alla parabola e all’asse x appartenenti alla parte concava della parabola.

Determinare i punti di tangenza delle due circonferenze con la parabola.