1966 Settembre - Maturità scientifica, prova di matematica

Carlo Sintini, Problemi di maturità, 1966 Settembre, matematicamente.it

Settembre 1966

In un riferimento cartesiano ortogonale O(x,y) sono date le curve di equazione:

(1) x² + y² − 2mx + m² − 1 − m = 0

(2) 2mx − y² − 2m² + 1 − m = 0

Con m > 0.

a)

Considerata una retta di equazione y = hx, si determini la relazione fra h e m sotto la quale tale retta risulta tangente alla (1). Analoga questione si risolva per la (2).

b)

Successivamente si determinino h ed m in guisa che la stessa retta risulti tangente comune alle due curve. In tal caso si calcolino le coordinate dei punti di contatto e si trovi l’area del quadrilatero convesso da essi individuato.

c)

Nel caso particolare m = 4 si calcoli l’area della regione finita limitata dalle due curve (1) e (2).

Applichiamo la condizione di tangenza fra la (1) e la retta y = hx. Eliminando la y si ottiene:

x²(1 + h²) − 2mx + m² − 1 − m = 0

Δ = 0 → m² − (1 + h²)(m² − 1 − m) = 0 → m = ...

Che è la relazione cercata fra m ed h.

Analogamente, applicando la condizione di tangenza fra la (2) e la retta y = hx ed eliminando la y si ottiene:

h²x² − 2mx + 2m² − 1 − m = 0

Δ = 0 → m² − h²(2m² − 1 − m) = 0 → 1 − 2h² − 1 − m = 0

Che è la seconda relazione cercata fra m ed h.

Poniamo a sistema le due relazioni e risolviamo:

h = ± 3 / 2

m = 2 / (1 + h²)

1 − 2h² − 1 − m = 0

Con questi valori le (1) e (2) diventano:

x² + y² − 3x / 2 + 3 / 64 = 0

x² / 2 = y + 3 / 8

Che corrispondono ad una circonferenza con centro in:

C ≡ (1 / 4; 0) e raggio r = 1 / 8, ed una parabola con asse parallelo all’asse x, concavità verso destra e vertice:

A ≡ (3 / 8; 0).

Risolvendo il sistema si trova che le due curve si incontrano proprio nel punto A.

Ponendo nella retta generica y = hx si nota che h = ± 3 / 3 risultano due rette passanti per l’origine ed inclinate di 30° verso l’alto e verso il basso.

Si ottiene il grafico.

Carlo Sintini, Problemi di maturità, 1966 Settembre, matematicamente.it