1966 Settembre - Maturità scientifica, prova di matematica

Carlo Sintini, Problemi di maturità, 1966 Settembre, matematicamente.it

Settembre 1966

In un riferimento cartesiano ortogonale O(x,y) sono date le

curve di equazione  

    

2 2 2

(1) x y 2mx m 1 m 0

 

   

2 2

(2) 2mx y 2m 1 m 0

Con m > 0.

a) Considerata una retta di equazione y = hx, si

determini la relazione fra h e m sotto la quale tale

retta risulta tangente alla (1). Analoga questione si

risolva per la (2).

b) Successivamente si determinino h ed m in guisa che

la stessa retta risulti tangente comune alle due

curve. In tal caso si calcolino le coordinate dei punti

di contatto e si trovi l’area del quadrilatero convesso

da essi individuato. = 4 si calcoli l’area della

c) Nel caso particolare m

regione finita limitata dalle due curve (1) e (2).

Applichiamo la condizione di tangenza fra la (1) e la retta

y = hx. Eliminando la y si ottiene

   

    

2 2 2

x 1 h 2mx m 1 m 0

 2

   h

       

2 2 2 3

0 m 1 h m m 0 m  2

4 1 h

Che è la relazione cercata fra m ed h.

Analogamente, applicando la condizione di tangenza fra la (2)

e la retta y = hx ed eliminando la y si ottiene

 

   

2 2 2

h x 2mx 2m 1 m 0

Carlo Sintini, Problemi di maturità, 1966 Settembre, matematicamente.it

    

       

2 2 2 2

0 m 2h m 1 m 0 1 2h 1 m

4

Che è la seconda relazione cercata fra m ed h.

Poniamo a sistema le due relazioni e risolviamo



 3

2

h  



 h

 m 

 3

2 

1 h

 

 

  1

  

2

1 2h 1 m m

  4

Con questi valori le (1) e (2) diventano

 x 3

   

2 2

x y 0

 2 64

 3

  

2

x 2y

 8

Che corrispondono ad una circonferenza con centro in

 

1 1

 

  e raggio , ed una parabola con asse parallelo

C ;0 r

 

4 8  

3



all’asse x, concavità verso destra e vertice  

in .

A ;0

 

8

Risolvendo il sistema si trova che le due curve si incontrano

proprio nel punto A.

3

 

Ponendo nella retta generica y = hx si nota che

h 3

risultano due rette passanti per l’origine ed inclinate di 30°

l’alto e verso il basso.

verso

Si ottiene il grafico

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Determiniamo le coordinate dei punti di contatto L, M, R, S

risolvendo i sistemi   

3 3

 

  

3 L ;

 

 

 y x  16 16

  

3 

   

 

x 3 3 3

   

2 2  

x y 0  

R ;

   

 2 64 16 16

 



  

3 3

 

  

3 M ;

 

 

 y x  4 4

  

3 

   

 

3 3 3

 

2  

x 2y  

S ;

   

 8 4 4

 



Calcoliamo ora la superficie del trapezio isoscele LMRS.

La sua altezza è 3 3 9

  

h 4 16 16

E le basi sono