1961 Settembre - Maturità scientifica, prova di matematica

Carlo Sintini, Problemi di maturità, 1961 Settembre, matematicamente.it

Settembre 1961

Data una sfera di centro O e raggio r, si conduca un piano secante non passante per il centro e si indichino: con S l’area della superficie della sfera; con S₁ l’area della calotta; con S₂ l’area della superficie maggiore che così si ottiene; con S₂ l’area laterale del cono avente per base il cerchio sezione così ottenuto e le generatrici tangenti alla sfera.

Si determini la distanza del piano secante dal centro O in modo che si abbia S + kS₁ = 2S₂.

Con k numero positivo dato.

Esprimendo poi k in funzione della distanza del piano secante dal centro della sfera, si studi l’andamento di tale funzione.

Impostazione del problema

Per valori di x compresi fra 0 e r si hanno situazioni simmetriche e il cono si trova nella parte inferiore della sfera.

Si ha Carlo Sintini, Problemi di maturità, 1961 Settembre, matematicamente.it

S = 4π OB²

S₂ = π · OB · AD

S₁ = π · AB · VB

È anche AD = r + x.

AB = √(r² − x²).

I triangoli ABO e VBO sono simili e perciò

VB : OB = AB : AO → VB = OB · AB / AO = r√(r² − x²) / x.

Si ha quindi

S₁ = πr(r + x) = πr² + πrx = S.

S₂ = πr(r + x) = S.

Applicando la relazione del problema, si ha

S₂ + kS₁ = 2S.

(r² − x²) / x + k · (r² + rx) = 2.

x² − 2k − 1 · 2rx + 4(k − 1)r² = 0.

0 ≤ x ≤ r, k > 0.

Rappresentazione geometrica

Ponendo x = y² si ottiene il sistema

y² = −(4k − 1)r² / (2k − 1) − 2rx.

y² = x².

Cioè un fascio di rette con centro nel punto

F ≡ (−r/7; −r²/7).

È una parabola con vertice nell’origine, asse verticale e ascisse comprese fra 0 ed r.

Carlo Sintini, Problemi di maturità, 1961 Settembre, matematicamente.it

Imponendo il passaggio per O, R, T si trovano i seguenti valori di k:

R → k = 2.

O → k = −∞.

T → k = 5 − 2√2.

E perciò si ha

Studio della funzione

Riprendiamo ora l’equazione parametrica

x² − (2k − 1)2rx + 4(k − 1)r² = 0.

Ed esplicitiamo il parametro k. Si ottiene

k = (x² − 8rx − r²) / (2x(x + r)).