1961 Settembre - Maturità scientifica, prova di matematica

Carlo Sintini, Problemi di maturità, 1961 Settembre, matematicamente.it

Settembre 1961

Data una sfera di centro O e raggio r, si conduca un piano

secante non passante per il centro e si indichino: con S

l’area della superficie della sfera; con S l’area della calotta

1

l’area della superficie

maggiore che così si ottiene; con S 2

laterale del cono avente per base il cerchio sezione così

ottenuto e le generatrici tangenti alla sfera.

Si determini la distanza del piano secante dal centro O in

modo che si abbia S + k S = 2 S

2 1

Con k numero positivo dato.

Esprimendo poi k in funzione della distanza del piano

si studi l’andamento di tale

secante dal centro della sfera,

funzione. –

Per valori di x compresi fra 0 e r si hanno situazioni

simmetriche e il cono si trova nella parte inferiore della sfera.

Si ha Carlo Sintini, Problemi di maturità, 1961 Settembre, matematicamente.it

   2

S 4 OB

   



S 2 OB AD

1

   

S AB VB

 2

È anche  

AD r x

 

2 2

AB r x

I triangoli ABO e VBO sono simili e perciò

 

2 2

OB AB r r x

   

VB : OB AB : AO VB AO x

Si ha quindi  

 

2 2

r r x

 

     

2

S 4 r S 2 r r x S

1 2 x

Applicando la relazione del problema, si ha

S + k S = 2 S

2 1

 

 

2 2

r r x  

     2

k 2 r r x 8kr

x

   

    

2 2

x 2k 1 2rx 4 k r 0

  

0 x r k 0

2

Ponendo x = y si ottiene il sistema

  2

4 k r

 

 y 2rx  

 2k 1 2k 1

  2

 y x

Cioè un fascio di rette con centro nel punto

 

2

r r

  

 

F ;

 

7 7

E una parabola con vertice nell’origine, asse verticale e ascisse

comprese fra 0 ed r.

Carlo Sintini, Problemi di maturità, 1961 Settembre, matematicamente.it

Imponendo il passaggio per O, R, T si trovano i seguenti valori

di k  

R k 2

  

O k

  

T k 5 2 2

E perciò si ha

Riprendiamo ora l’equazione parametrica

   

    

2 2

x 2k 1 2rx 4 k r 0

Ed esplicitiamo il parametro k. Si ottiene

 

2 2

x 8rx r



k  



2x x r

Funzione algebrica di terzo grado, fratta, con 0 < x < r, con due

  

asintoti verticali di equazione e uno

x 0 e x r

orizzontale di equazione y = ½.