1959 Luglio - Maturità scientifica, prova di matematica

Carlo Sintini, Problemi di maturità, 1959 luglio, matematicamente.it

Luglio 1959

Il triangolo ABC ha i lati AB e AC di lunghezza rispettivamente 5 e 4 e l’angolo fra essi compreso è di 60°. La bisettrice dell’angolo A del triangolo interseca il lato opposto in S.

Calcolare la lunghezza del lato BC e delle parti in cui esso è diviso dal punto S e successivamente si determini il coseno dell’angolo ABC e quindi la lunghezza di AS.

Ciò fatto, si trovi sul segmento AS un punto P tale che la somma dei quadrati delle distanze dai tre vertici del triangolo sia equivalente ad un quadrato di lato k. Discussione.

Facoltativamente si risolva il problema per via geometrica.

Con Carnot:

BC² = 5² + 4² − 2 · 5 · 4 cos 60° = 21

Prima di proseguire osserviamo la costruzione realizzata nella figura di destra: tracciamo la retta passante per B e parallela alla bisettrice, e prolunghiamo AC fino ad incontrare in D la retta precedente.

Gli angoli α e γ.

Il triangolo ABD è isoscele perché gli angoli α e γ sono corrispondenti e quindi uguali fra loro.

Gli angoli ε e δ sono anch’essi uguali fra loro perché alterni interni.

Gli angoli ε e γ.

Essendo ε = γ risulta anche α = δ e il triangolo è isoscele.

Inoltre per il teorema di Talete (fascio di rette tagliate da due trasversali), si ha AC : AD = CS : SB.

Ma, essendo isoscele ABD, si può anche scrivere AC : AB = CS : SB.