1952 Luglio - Maturità scientifica, prova di matematica

Carlo Sintini, Problemi di maturità, 1952, Luglio, matematicamente.it

    

2 OB 3 OC k BC

Sostituendo e semplificando  

(1) 7sen x 4 2 cos x 2k 2

1

  

0 x arc cos k 0

3

Eseguiamo la discussione grafica ponendo



 cos x X

 



sen x Y

E associando la (1) con la prima relazione fondamentale della

trigonometria. Si ottiene  4 2 2k 2

  

 Y X

 7 7

  

2 2

 X Y 1 4 2

 

m

Cioè un fascio di rette parallele con coefficiente angolare e

7

una circonferenza con centro nell’origine e raggio unitario, di cui

considerare solo l’arco RS.

dovremo

In cui  

1 2 2  

 

 

R ; S 1;0

 

3 3

 

Calcoliamo per quali valori di k la retta del fascio passa per S e R,

imponendo al fascio di passare per tali punti.

Carlo Sintini, Problemi di maturità, 1952, Luglio, matematicamente.it

4 2 2k 2

    

S 0 k 2

7 7

2 2 4 2 1 2k 2

     

R k 3

3 7 3 7

Calcoliamo infine per quale valore di k si ha la tangenza in T.

  9 2

 

      

2 2

16k 81 8k 49 0 k 4

Quindi al variare di k si avrà

Carlo Sintini, Problemi di maturità, 1952, Luglio, matematicamente.it

Luglio 1952, secondo problema

È dato il triangolo ABC del quale si conoscono: il lato BC di

lunghezza a e gli angoli di vertici B e C di ampiezza 60° e 45°

rispettivamente. Condotta per il vertice A una retta r non secante il

triangolo, si consideri il solido ottenuto mediante una rotazione

completa del triangolo attorno ad r.

Si trovi il volume V del solido in funzione dell’angolo x che una

delle semirette di r di origine A, forma con il lato AB; indi si

verifichi l’esattezza dell’espressione di V considerando qualche

posizione particolarmente notevole della retta r (per esempio r

parallela a BC).

Per quale valore di x il volume V assume il valore massimo o

minimo ? estremi, qual è l’angolo che la retta r forma con la

In questi casi

mediana AM relativa al lato BC ?

Il volume del solido generato dalla rotazione di ABC attorno ad r, è un

tronco di cono (con altezza EF e raggi di base EB e FC) al quale si deve

togliere il volume del cono con raggio di base EB e altezza EA, e del

cono con raggio di base FC e altezza AF.

Occorre quindi determinare i seguenti segmenti: EA, AF, EB, FC.

Applicando il teorema dei seni al triangolo ABC, si trova

Carlo Sintini, Problemi di maturità, 1952, Luglio, matematicamente.it

 

   

BC : sen 75 AB : sen 45 AB a 3 1

 



a 6 3 1

  

BC : sen 75 AC : sen 60 AC 2

Eliminando i calcoli (piuttosto laboriosi) e ricordando che

 

2 6 2 6

 

sen105 cos105

4 4

Si ricava  

EA  

  EA a 3 1 cos x

cos x

AB  

EB  

  EB a 3 1 sen x

sen x

AB  

a 3

AF  

    

   AF 3 2 cos x sen x

cos 105 x  

2

AC  

a 3

FC  

    

   FC cos x 3 2 sen x

sen 105 x  

2

AC

Calcoliamo anche

  

a

   

 EF EA AF 3sen x cos x

2

  

  

2 2 2

 EB 2a 2 3 sen x

    

 2

3a  

    

2 2 2

FC cos x 7 4 3 sen x 4 2 3 senx cos x

  

 4

Il volume del solido è

   

V V V V

tronco cono AFC cono ABE

  

2 2

 

EF FC EB

     

2 2

FC EB FC EB AF AE

3 3 3

Semplificando l’espressione si trova

  

      

2 2

V EA FC AF EB EF FC EB

3

Sostituendo e semplificando si ha

Carlo Sintini, Problemi di maturità, 1952, Luglio, matematicamente.it

 

 

3  

a 3 1 12 5 3

  

 3 2

(1) V sen x sen x cos x

4 3

 



12 5 3

  

2 3

senx cos x cos x

3 

Che rappresenta (salvo errori od omissioni perché il calcolo pur facile

concettualmente, è veramente laborioso) l’espressione cercata.

Controlliamo l’esattezza dell’espressione assegnando ad x un

particolare valore notevole. Conviene porre x = 0 (e non x = 60 come

suggerisce il testo). La (1) diviene  

 

3

a 3 1



V 4

Guardando la figura, si ha

Cioè il solido è costituito semplicemente da due coni uniti per le basi.

Risulta  

a

   

BC a HB AB a 3 1

2



2a 3 3a a 3

 

AH HC

2 2

E perciò  

 

3

 a 2 3 3

3

a

    

V V V

cono BHC cono AHC 8 8

 

 

3

a 3 1

 4

Valore concorde a quello ottenuto con la (1).

Carlo Sintini, Problemi di maturità, 1952, Luglio, matematicamente.it

Per calcolare la derivata della (1) e per studiarne il segno conviene

porre  

  

3

a 3 1

 

p

 4



 

12 5 3



 q

 3

In modo che la (1) diviene

 

   

3 2 2 3

V p q sen x sen x cos x q senx cos x cos x

Deriviamo 

   

2 2 3

V ' p 3q sen x cos x 2senx cos x sen x

   

  

3 2 2

q cos x 2sen x cos x 3senx cos x 

Semplifichiamo e uguagliamo a zero

 

    

3 2 2 3

p sen x q sen x cos x senx cos x q cos x 0

  3

Dividiamo per p, cambiamo segno e dividiamo ancora per cos x. Si ha

   

3 2

tan x q tan x tan x q 0

Che si annulla solo per 

tan x q

Lo studio del segno fornisce

Quindi il volume acquista valore massimo quando



12 5 3



x arc tan 3

rispondere all’ultima domanda occorre ricordare il teorema di

Per

Guldino secondo cui il volume di un solido di rotazione è dato dal

prodotto dell’area della superficie che ruotando lo genera, per la

lunghezza della circonferenza descritta dal baricentro di tale superficie.