1951 Luglio - Maturità scientifica, prova di matematica

Carlo Sintini, Problemi di maturità, 1951 luglio, matematicamente.it

Luglio 1951, primo problema

Nel triangolo ABC l’angolo di vertice B è di 60°. Determinare l’ampiezza dell’angolo x sapendo che k è la misura, rispetto al lato BC, dell’ipotenusa del triangolo rettangolo avente per cateti due segmenti rispettivamente uguali ad AC e alla proiezione BH di BA su BC.

Discutere i risultati ed esaminare i casi in cui x è uguale a 60°, 30°, 90°. È facoltativa la discussione grafica.

Riferendoci al primo triangolo esprimiamo AC e BH in funzione di BC.

Per il teorema dei seni è:

BC : sen x = AC : sen 60°

AC = BC · √3 / 2 sen x

(1) AC = √3 BC / 2 sen x

Nel triangolo rettangolo AHC è inoltre:

AH = AC sen(120° − x)

Cioè, utilizzando la (1),

AH / BC = [√3 sen(120° − x)] / [2 sen x] = [3 cos x + √3 sen x] / [4 sen x]

Nel triangolo rettangolo AHB è allora:

AH / BH = ctg 60°

BH = AH / ctg 60°

BH / BC = [3 cos x + √3 sen x] / [4 sen x]

(2) BH = BC · [3 cos x + √3 sen x] / [4 sen x]

La relazione fornita dal problema

Carlo Sintini, Problemi di maturità, 1951 luglio, matematicamente.it

La relazione fornita dal problema

LH / BC = k / 4

Può anche essere scritta nel modo seguente:

LH² / BC² = k² / 16 → (AC² + BH²) / BC² = k² / 16

Sostituiamo le (1) e (2) in quest’ultima espressione:

[(3 cos x + √3 sen x) / (4 sen x)]² + 3 / [4 sen² x] = k² / 16

Cioè, semplificando e sotto la condizione sen x ≠ 0,

15 cos² x + 2√3 sen x cos x + 13 sen² x − k² sen² x = 0

ABC = 60°

Dove la x può variare fra 0° e 120° (perché ABC è la somma degli angoli interni e deve essere 180°).

Conviene allora trasformare l’equazione in funzione di ctg x dividendo tutti i termini per sen² x. Si ha:

15 ctg² x + 2√3 ctg x + 13 − k² = 0

−√3 / 15 < ctg x < ∞, k > 0

Ponendo:

• ctg x = X
• k² = Y

Si ottiene:

• Y = 15 X² + 2√3 X + 13
• Y = k²

Cioè un arco di parabola con asse verticale, vertice nel punto:

V ≡ (−√3 / 15; 64 / 5)

e ascissa compresa fra −√3 / 15 e ∞, e un fascio di rette orizzontali.

Carlo Sintini, Problemi di maturità, 1951 luglio, matematicamente.it