1941 Luglio - Maturità scientifica, prova di matematica

Carlo Sintini, Problemi di maturità, 1941 Luglio, matematicamente.it

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Luglio 1941: primo problema

Il settore circolare OAB è quarta parte di un cerchio di centro O e raggio r. Determinare l’ampiezza dell’angolo che un raggio OP interno ad esso deve fare con OA affinché, detto C il punto medio del raggio OA e D la proiezione ortogonale di P su OB, si abbia

PC² + PD² = kr²

Dove k è un numero positivo dato. Discussione.

Applichiamo il teorema di Carnot al triangolo COP.

PC² = r² + r²/4 − 2r · r/2 cos x = r²/4(5 − 4 cos x)

Inoltre nel triangolo POD è

PD = PO cos x → PD² = r² cos² x

PO

Applicando la relazione del testo si ottiene quindi

r²/4(5 − 4 cos x) + r² cos² x = kr²

4 cos² x − 4 cos x + 5 − 4k = 0

0 < cos x < 1

Poniamo ora

cos x = X

4k = Y

Si ottiene il sistema

Y = 4X² − 4X + 5

Y = 4k

Cioè una parabola con vertice in V (1/2; 4), di cui ci interessa solo l’arco utile RS, ed un fascio di rette orizzontali.

La retta del fascio passa per R ed S quando

4k = 5 → k = 5/4

E per V quando

4k = 4 → k = 1

Si hanno dunque due soluzioni per

1 ≤ k ≤ 5/4

Carlo Sintini, Problemi di maturità, 1941 Luglio, matematicamente.it

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Luglio 1941: secondo problema

Risolvere il sistema

x² + y² = 2x

x + 2y = 2a

E discutere la realtà e il segno delle radici al variare di a, che si suppone positivo. Casi particolari:

a = 1/2, a = 1, a = 3/2, a = 5/2

È in facoltà del candidato di ritrovare i risultati per via geometrica, servendosi delle due linee, circonferenza e retta, rappresentate dalle due equazioni del sistema.

Le due equazioni corrispondono ad una circonferenza di centro (1, 0) e raggio unitario, e di una retta che in forma esplicita diviene

y = −1/2 x + a

Il suo coefficiente angolare è m = −1/2 ed a, che il testo prescrive sia positivo, corrisponde al segmento intercettato sull’asse y.

Ricavando la y dalla seconda equazione e sostituendo nella prima, si ricava

5x² − 2x + 4a² − 4a = 0

Carlo Sintini, Problemi di maturità, 1941 Luglio, matematicamente.it

Il sistema ammette soluzioni quando

Δ = (−2)² − 5(4a² − 4a) ≥ 0 → −4a² + 4a + 1 ≥ 0