1941 Luglio - Maturità scientifica, prova di matematica

Carlo Sintini, Problemi di maturità, 1941 Luglio, matematicamente.it

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Luglio 1941 Primo problema

Il settore circolare OAB è quarta parte di un cerchio di centro O e

raggio r. Determinare l’ampiezza dell’angolo che un raggio OP

interno ad esso deve fare con OA affinché, detto C il punto medio

del raggio OA e D la proiezione ortogonale di P su OB, si abbia

2 2 2

PC + PD = kr

Dove k è un numero positivo dato. Discussione.

Applichiamo il teorema di Carnot al triangolo COP

2

r 5

    

2 2 2 2

PC r 2r cos x r r cos x

4 4

Inoltre nel triangolo POD è

PD     

2 2 2

cos x PD r cos x PD r cos x

PO

Applicando la relazione del testo si ottiene quindi

5   

2 2 2 2 2

r r cos x r cos x kr

4    

2

4cos x 4cos x 5 4k 0

 

0 cos x 1

Poniamo ora 

 cos x X

 

 4k Y

Si ottiene il sistema

Carlo Sintini, Problemi di maturità, 1941 Luglio, matematicamente.it

   

2

Y 4X 4X 5

 

 Y 4k  

1

  

Cioè una parabola con vertice in di cui ci interessa solo

V ; 4

 

2

l’arco utile RS, ed un fascio di rette orizzontali.

La retta del fascio passa per R ed S quando 5

  

4k 5 k 4

E per V quando   

4k 4 k 1

Si hanno dunque due soluzioni per 5

 

1 k 4

Carlo Sintini, Problemi di maturità, 1941 Luglio, matematicamente.it

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Luglio 1941 Secondo problema

Risolvere il sistema   

2 2

x y 2x

  

 x 2y 2a

E discutere la realtà e il segno delle radici al variare di a, che si

suppone positivo. Casi particolari: 

1 3 1 5

   

a a 1 a a

2 2 2

E’ in facoltà del candidato di ritrovare i risultati per via

geometrica, servendosi delle due linee (circonferenza e retta)

rappresentate dalle due equazioni del sistema.

Le due equazioni corrispondono ad una circonferenza di centro (1,0) e

raggio unitario, e di una retta che in forma esplicita diviene

1

  

y x a

2

Il suo coefficiente angolare è m = -1/2 ed a (che il testo prescrive sia

corrisponde al segmento intercettato sull’asse y.

positivo)

Ricavando la y dalla seconda equazione e sostituendo nella prima, si

ricava  

   

2 2

5x 2x 2a 4 4a 0