1938 Settembre - Maturità scientifica, prova di matematica

Carlo Sintini, Problemi di maturità, 1938 Settembre, matematicamente.it

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Settembre 1938 Primo problema

Nel triangolo rettangolo BAC, l’ipotenusa BC è lunga 2° e il cateto

CA è minore o uguale al cateto BA.

Detti O il punto medio di BC ed M il punto in cui la perpendicolare

in O a BC incontra la retta AB, determinare l’ampiezza x

dell’angolo , sapendo che l’area del rettangolo di lati CA e

CBA 2

OM è uguale a 2ma essendo m un numero dato.

Discussione e calcolo dei valori di m per cui l’angolo risulta

CBA

rispettivamente di 30°, 45°, 60°.

Si ricava immediatamente

OM   

tg x OM tg x

OB

AC   

sen x AC 2a sen x

BC

Applicando la relazione del problema si ottiene 2

sen x

   

2

2a sen x a tg x 2ma m

cos x

  

2

(1) cos x m cos x 1 0

2  

cos x 1

2

Ponendo 

 cos x X

 

2

 cos x Y

Si ottiene il sistema

Carlo Sintini, Problemi di maturità, 1938 Settembre, matematicamente.it

 

 Y mX 1

  2

 Y X  



Cioè un fascio di rette con centro , come si può ricavare

F 0;1

attribuendo ad m due valori arbitrari (per esempio

m = 1 e m = 2) e risolvendo il sistema delle due rette così ottenute, e

l’arco RS di parabola.   2

2 1 

  

La retta del fascio passa per quando e passa per

m

R ;

  2

2 2

 

 



il punto quando m = 0.

S 1;1

Si ha quindi una soluzione per 2

 

0 m 2

Riguardo l’ultima richiesta, sostituendo nella (1) i coseni degli angoli

caratteristici, si trova 3 3

     

x 30 cos x m

2 6

 

1 5 3 5 5

     

x 36 cos x m

4 4

2 2

     

x 45 cos x m

2 2

Carlo Sintini, Problemi di maturità, 1938 Settembre, matematicamente.it

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Settembre 1938 Secondo problema

In coordinate cartesiane ortogonali è data la parabola

2

y = x + 1

disegnare la curva e determinare i punti P di essa per cui, detta O

l’origine delle coordinate, ed A il punto dell’asse x di ascissa 1, si

abbia  

2 2

PO m PA

Essendo m un numero dato. Discussione.

In forma normale la equazione diviene  

   

2

x y 1 con vertice V 1;0

Un generico punto P che scorre sulla parabola ha coordinate

 

 

2

P y 1; y

Applicando la formula della distanza fra due punti, si trova

immediatamente   2

     

2 2 2 4 2

PO y 1 y y y 1

  2

      

2 2 2 4 2

PA y 1 1 y y 3y 4