1927 Settembre - Maturità scientifica, prova di matematica

Carlo Sintini, Problemi di maturità, 1927 Settembre, matematicamente.it

Settembre 1927

Dato un cerchio di raggio r, determinare in esso l’ampiezza di un angolo al centro AOB = x in modo che, costruito il triangolo equilatero ABC sulla corda AB da parte opposta al centro O, sia k r² l’area del quadrilatero OACB.

Discutere i risultati e dire quale valore deve avere x perché il quadrilatero abbia area massima.

Poniamo AOB = x con 0 < x ≤ 180°.

Per il teorema della corda è:

AB = 2r sen x
             2

Mentre nei triangoli rettangoli ALO e ALC si ha:

OL
── = cos x → OL = r cos x
AO             2             2

LC
── = sen 60° → LC = 2r sen x · √3 = r√3 sen x
AC                                 2             2

L’area del quadrilatero OACB è il semiprodotto delle diagonali per il seno di uno degli angoli da esse formato. E perciò:

S = AB · OL · sen 90° + AB · LC · sen 90°
             2                             2

S = k r²