ESERCIZIARIO
ANALISI MATEMATICA 2
1
INDICE
1. Serie di Fourier 3
2. Serie di potenze 14
3. Serie numeriche 29
4. Forme differenziali e campi vettoriali 61
4.1 Esercizi sul Teorema di Green 61
4.2 Esercizi sul Teorema di Stokes 62
4.3 Esercizi sul Teorema di Gauss 64
4.4 Esercizi su campi conservativi e potenziali 66
4.5 Esercizi su forme esatte e primitive 70
5. Integrali di superficie 74
6. Curve e integrali curvilinei 87
6.1 Esercizi sulle curve parametriche 87
6.1.1 Parametrizzazione delle curve 87
6.1.2 Lunghezza di una curva 96
6.2 Esercizi sugli integrali curvilinei 98
6.2.1 Integrali curvilinei di I specie 98
6.2.2 Integrali curvilinei di II specie 103
7. Integrali tripli 107
8. Integrali doppi 129
2 SERIE DI FOURIER
Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano un grado di difficoltà maggiore.
Esercizio n°1. Determinare la serie di Fourier delle seguenti funzioni e studiarne la convergenza quadratica,
puntuale e uniforme:
dove è la parte intera di
è la funzione ottenuta prolungando per periodicità la funzione
3
è la funzione ottenuta prolungando per periodicità la funzione
è la funzione ottenuta prolungando per periodicità la funzione definita per ogni
è la funzione ottenuta prolungando per periodicità la funzione
La funzione ] è periodica di periodo 1 ed in particolare per ogni Di
conseguenza è continua in ( +1) ed è discontinua, con discontinuità di tipo salto, in per ogni
Studiamo inizialmente la convergenza della serie di Fourier di
Ne segue che la serie di Fourier di converge quadraticamente a su
Studiamo ora la convergenza puntuale della serie di Fourier di Essendo continua in per ogni
si ottiene che la serie di Fourier di converge a in per ogni Prendiamo in esame
ora Si ottiene che 4
Inoltre, essendo di classe in ogni intervallo per ogni la serie di Fourier di converge
uniformemente a su con per ogni Poiché non è continua su la
convergenza non è uniforme su questi intervalli.
Determiniamo ora la serie di Fourier di Essendo periodica di periodo 1, la serie di Fourier di è della
forma
dove
e per ogni
Si ottiene che
integrando per parti
Di conseguenza la serie di Fourier di è
La funzione è periodica di periodo 2 Inoltre è continua in ](2 per ogni ed è
discontinua, con discontinuità di tipo salto, in per ogni
Studiamo inizialmente la convergenza della serie di Fourier di
Ne segue che la serie di Fourier di converge quadraticamente a su
5
Studiamo ora la convergenza puntuale della serie di Fourier di Essendo continua in
per ogni si ottiene che la serie di Fourier di converge a in per ogni
Prendiamo in esame ora per ogni Si ottiene che
Di conseguenza la serie di Fourier di converge in per ogni a
Pertanto la serie di Fourier di converge puntualmente a su Inoltre, essendo di classe in ogni
intervallo per ogni la serie di Fourier di converge uniformemente a su con
per ogni Poiché
non è continua su la convergenza non è uniforme su questi intervalli.
Determiniamo ora la serie di Fourier di Essendo periodica di periodo e dispari, la serie di Fourier di è
della forma
dove per ogni
integrando per parti
Di conseguenza la serie di Fourier di è
La funzione è periodica di periodo 2 Inoltre è continua in ](2 per ogni ed è
discontinua, con discontinuità eliminabile, in per ogni
Studiamo inizialmente la convergenza della serie di Fourier di
Si osservi che ossia che Infatti,
Ne segue che la serie di Fourier di converge quadraticamente a su
Studiamo ora la convergenza puntuale della serie di Fourier di Essendo continua in
per ogni si ottiene che la serie di Fourier di converge a in per ogni
Prendiamo in esame ora per ogni Si ottiene che
Di conseguenza la serie di Fourier di converge in per ogni a
Pertanto la serie di Fourier di converge puntualmente a
6
Inoltre, essendo di classe in ogni intervallo per ogni , la serie di Fourier di
converge uniformemente a su [ ], con (2 , per ogni Poiché non è
continua su [(2 la convergenza non è uniforme su questi intervalli. Poiché conicide su
tranne che nei punti , per ogni , allora la serie di Fourier di coincide con quella di ed
essendo di classe sull’intervallo si ottiene che la serie di Fourier di e di conseguenza anche
quella di converge uniformemente a su Determiniamo ora la serie di Fourier di Essendo periodica
di periodo e pari, la serie di Fourier di è della forma
dove
e per ogni
integrando per parti
integrando per parti
Di conseguenza la serie di Fourier di è
La funzione è periodica di periodo 2 Inoltre è continua in ](2 per ogni ed è
discontinua, con discontinuità eliminabile, in per ogni
Ne segue che la serie di Fourier di converge quadraticamente a su
Studiamo ora la convergenza puntuale della serie di Fourier di Essendo continua in
per ogni si ottiene che la serie di Fourier di converge a in per ogni
Prendiamo in esame ora per ogni Si ottiene che
7
Di conseguenza la serie di Fourier di converge in per ogni a
Pertanto la serie di Fourier di converge puntualmente a
Inoltre, essendo di classe in ogni intervallo per ogni , la serie di Fourier di
converge uniformemente a su [ ], con (2 , per ogni Poiché non è
continua su [(2 la convergenza non è uniforme su questi intervalli. Poiché conicide su
tranne che nei punti , per ogni , allora la serie di Fourier di coincide con quella di ed
essendo di classe sull’intervallo si ottiene che la serie di Fourier di e di conseguenza anche
quella di converge uniformemente a su
Determiniamo ora la serie di Fourier di Essendo periodica di periodo e pari, la serie di Fourier di è
della forma
dove
e per ogni
integrando per parti
integrando per parti
integrando per parti
integrando per parti
Di conseguenza la serie di Fourier di è 8
* La funzione è periodica di periodo 2 Inoltre è continua in ](2 per ogni ed è
discontinua, con discontinuità di tipo salto, in per ogni
Studiamo inizialmente la convergenza della serie di Fourier di
Si osservi che ossia che Infatti, essendo continua a tratti su
allora è integrabile (il calcolo esplicito dell’integrale di non è immediato). Ne segue che la serie di Fourier
di converge quadraticamente a su
Studiamo ora la convergenza puntuale della serie di Fourier di Essendo continua in
per ogni si ottiene che la serie di Fourier di converge a in per ogni
Prendiamo in esame ora per ogni Si ottiene che
Di conseguenza la serie di Fourier di converge in per ogni a
Pertanto la serie di Fourier di converge puntualmente a
Inoltre, essendo di classe in ogni intervallo per ogni , la serie di Fourier di
converge uniformemente a su [ ], con (2
, per ogni Poiché non è continua su [(2 la convergenza non è
uniforme su questi intervalli. Determiniamo ora la serie di Fourier di Essendo periodica di periodo e
dispari, la serie di Fourier di è della forma
dove per ogni
Calcoliamo le primitive di su Integrando per parti si ottiene che
dove indica una generica primitiva di su Calcoliamo queste primitive. Integrando
per parti (abbr. p.p.) si ottiene che
Di conseguenza per ogni si ottiene 9
da cui segue che per ogni
Calcoliamo ( ). Integrando per parti si ottiene che
Pertanto non resta che calcolare quest’ultimo integrale. Intregrando per parti e utilizzando (1.4) si ottiene che
Di conseguenza per ogni si ottiene
da cui segue che per ogni
Sostituendo in (1.1) si ottiene che per ogni 10
Infine per si ottiene che
Di conseguenza la serie di Fourier di è
La funzione è periodica di periodo Inoltre è continua in esclusi i punti per ogni
in cui ha una discontinuità di tipo salto.
Studiamo inizialmente la convergenza della serie di Fourier di Si osservi che ossia che
Infatti,
Ne segue che la serie di Fourier di converge quadraticamente a su Studiamo ora la convergenza
puntuale della serie di Fourier di Essendo continua in esclusi i punti per ogni si
ottiene che la serie di Fourier di converge a in ogni
Prendiamo in esame ora per ogni Si ottiene che
Di conseguenza la serie di Fourier di converge in per ogni a
Pertanto la serie di Fourier di converge puntualmente a su Inoltre, essendo di classe in ogni
intervallo per ogni la serie di Fourier di converge uniformemente a su
con per ogni Poiché non è continua su la
convergenza non è uniforme su questi intervalli. Determiniamo ora la serie di Fourier di Essendo periodica
di periodo e pari, la serie di Fourier di è della forma
dove
e per ogni 11
Di conseguenza la serie di Fourier di è
La funzione è periodica di periodo Inoltre è continua su
Studiamo inizialmente la convergenza della serie di Fourier di Si osservi che ossia che
Infatti,
Ne segue che la serie di Fourier di converge quadraticamente a su Studiamo ora la convergenza
puntuale della serie di Fourier di Essendo continua su si ottiene che la serie di Fourier di converge
puntualmente a su Inoltre, essendo di classe a tratti in la serie di Fourier di converge
uniformemente a su
Determiniamo ora la serie di Fourier di Essendo periodica di periodo e pari, la serie di Fourier di è
della forma
dove
e per ogni
integrando per parti
Di conseguenza la serie di Fourier di è 12
La funzione è periodica di periodo Inoltre è continua in esclusi i punti per ogni in
cui ha una discontinuità di tipo salto.
Studiamo inizialmente la convergenza della serie di Fourier di
Ne segue che la serie di Fourier di converge quadraticamente a su Studiamo ora la convergenza
puntuale della serie di Fourier di Essendo continua in esclusi i punti per ogni si
ottiene che la serie di Fourier di converge a in ogni
Prendiamo in esame ora per ogni Si ottiene che
Di conseguenza la serie di Fourier di converge in per ogni a Pertanto
la serie di Fourier di converge puntualmente a su Inoltre, essendo di classe in ogni intervallo
per ogni la
serie di Fourier di converge uniformemente a su [ ], con per ogni Poiché
non è continua su la convergenza non è uniforme su questi intervalli.
Determiniamo ora la serie di Fourier di Essendo periodica di periodo e dispari, la serie di Fourier di è
della forma
dove per ogni
Di conseguenza la serie di Fourier di è 13 SERIE DI POTENZE
Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano un grado di difficoltà maggiore.
Esercizio n°1. Determinare il raggio di convergenza, l’insieme di convergenza puntuale e l’insieme di
convergenza uniforme delle seguenti serie di potenze.
converge puntualmente in converge uniformemente in
converge puntualmente in
converge puntualmente in converge uniformemente in converge
puntualmente in converge uniformemente in
Determiniamo inizialmente il raggio di convergenza. Si ottiene che
14
Di conseguenza il raggio di convergenza è Ne segue che la serie converge puntualmente in e
uniformemente in per ogni
Determiniamo inizialmente il raggio di convergenza. Si ottiene che
Di conseguenza il raggio di convergenza è Ne segue che la serie converge puntualmente in
Controlliamo se la serie converge anche in Osserviamo che
Di conseguenza per non è verificata la condizione necessaria per la convergenza della serie e di
conseguenza la serie non converge. Pertanto la serie converge puntualmente in e uniformemente in
per ogni
Determiniamo inizialmente il raggio di convergenza. Si ottiene che
Di conseguenza il raggio di convergenza è Ne segue che la serie converge puntualmente in
Controlliamo se la serie converge anche in Si osservi che
serieQuindi per e di conseguenza 1 non è verificata la condizione necessaria per la convergenza della
la serie non converge. Pertanto la serie converge puntualmente in e uniformemente in
per ogni Di conseguenza la serie converge puntualmente in (0 2) e uniformemente
in per ogni
Determiniamo inizialmente il raggio di convergenza. Si ottiene che
Di conseguenza il raggio di convergenza è Ne segue che la serie converge puntualmente in
Controlliamo se la serie converge anche in Si osservi che per Infatti,
posto si ottiene 15
Di conseguenza per il criterio del confronto
criterio della convergenza assoluta la serie
Determiniamo inizialmente il raggio di convergenza. Calcoliamo
Si osservi che per ogni
Di conseguenza per ogni
Il primo e il terzo termine tendono a 1 per Infatti,
Di conseguenza per il secondo teorema del confronto anche
e di conseguenza il raggio di convergenza è Ne segue che la serie converge puntualmente in
16
la serie converge puntualmente in e uniformemente in per ogni
Determiniamo inizialmente il raggio di convergenza. Si ottiene che
Di conseguenza il raggio di convergenza è Ne segue che la serie converge puntualmente in
Controlliamo se la serie converge anche in Osserviamo che
Di conseguenza per non è verificata la condizione necessaria per la convergenza della serie e di
conseguenza la serie non converge. Pertanto la serie converge puntualmente in e uniformemente in
per ogni
Determiniamo inizialmente il raggio di convergenza. Si ottiene che
Di conseguenza il raggio di convergenza è Ne segue che la serie converge puntualmente in
la successione è decrescente. Infatti, se prendiamo in esame la funzione associata alla successione
ristretta all’intervallo si ottiene che è derivabile con
Di conseguenza è decrescente su e di conseguenza è decrescente.
Di conseguenza per il criterio di Leibiniz la serie converge. Pertanto la serie converge
puntualmente in e uniformemente in per ogni
Determiniamo inizialmente il raggio di convergenza. Si ottiene che
17
Di conseguenza per calcolare il raggio di convergenza dobbiamo ricorrere alla definizione, in base alla quale il
raggio di convergenza è
Prendiamo in esame ora la convergenza della serie data per Si osservi che
Di conseguenza non essendo verficata la condizione necessaria per la convergenza della serie, la serie data
non converge per Ne segue che
e di conseguenza il raggio di convergenza è Ne segue che la serie converge
puntualmente in e uniformemente in per ogni
Determiniamo inizialmente il raggio di convergenza. Si ottiene che
Di conseguenza il raggio di convergenza è Ne segue che la serie converge puntualmente in
Controlliamo se la serie converge anche in Osserviamo che
Di conseguenza per non è verificata la condizione necessaria per la convergenza della serie e di
conseguenza la serie non converge. Pertanto la serie converge puntualmente in e uniformemente in
per ogni
La serie ! è una serie di potenze centrata in
Di conseguenza il raggio di convergenza è Ne segue che la serie converge puntualmente in e
uniformemente in per ogni 18
Determiniamo inizialmente il raggio di convergenza. Posto !, si ottiene che
Di conseguenza il raggio di convergenza è Ne segue che la serie converge solo in
Determiniamo inizialmente il raggio di convergenza. Si ottiene che
Di conseguenza il raggio di convergenza è Ne segue che la serie converge puntualmente in
Controlliamo 1 se. Poichéla serie converge anche inper Pere la serie
si ottiene diverge, la serie 1 per il criterio del confronto asintotico la serie
diverge. la successione è decrescente.
Di conseguenza per il criterio di Leibiniz la serie converge. Pertanto la serie data converge
puntualmente in e uniformemente in per ogni
Determiniamo inizialmente il raggio di convergenza. Si ottiene che
Di conseguenza il raggio di convergenza è Ne segue che la serie converge puntualmente in
converge. Per si ottiene la serie converge assolutamente e di conseguenza converge.
Pertanto la serie data converge puntualmente e uniformemente in [
Esercizio n°2. Determinare il raggio di convergenza, l’insieme di convergenza puntuale e l’insieme di
convergenza uniforme delle seguenti serie di potenze.
[Suggerimento: per stabilire la convergenza negli estremi dell’intervallo può essere utile la Formula di Stirling:
! per 19
Determiniamo inizialmente il raggio di convergenza. Posto !))! si ottiene che
Di conseguenza il raggio di convergenza è Ne segue che la serie converge puntualmentesi hanno in
rispettivamente Controlliamo le serie se la serie!))! converge e anche
in!))! Per Perla Formula di Stirling si ottiene che
Di conseguenza per si ottiene
Ne segue che
Pertanto non essendo verificata la condizione necessaria per la convergenza della serie, la serie data non
converge in Ne segue che la serie converge puntualmente in e uniformemente in per
ogni
Allora si ottiene che
Pertanto
Di conseguenza il raggio di convergenza è Ne segue che la serie converge puntualmente in
20
Controlliamo se la serie converge1)! 21)! anche! È in una serie a
Pertermini di segnosi ha alterno.la serie Prendiamo in esame 1)! 21)! inizialmente!
Per la Formula la convergenza di Stirling assoluta, si ottiene checio è la convergenza della serie
Ne segue che per si ottiene
Prendiamo in esame la convergenza. Posto 1)! 21)!! di conseguenza per
si ottiene che: 1)! 21)!! la successione è decrescente. Infatti, per (1.1) si ottiene
Di conseguenza per il criterio di Leibiniz la serie 1)! 21)!! converge. Per si
ottiene la serie 1)! 21)!! Per quanto osser-
vato precedentemente questa serie diverge. Di conseguenza la serie data converge puntualmente in e
uniformemente in per ogni
Esercizio n°3. Determinare gli sviluppi in serie di McLaurin delle seguenti funzioni:
21
Di conseguenza lo sviluppo in serie di McLaurin di è
Di conseguenza lo sviluppo in serie di McLaurin di è
Si osservi che questa serie converge a solo in [ 1], pur essendo dom (
Di conseguenza lo sviluppo in serie di McLaurin di è
Si osservi che questa serie non converge in (vedi Esercizio Di conseguenza l’insieme di
convergenza è pur essendo
Applicando il Teorema di integrazione per serie, si ottiene che per ogni
22
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