Analisi matematica – Preparazione esame – Paniere completo risposte chiuse (301) – A.A. 2025/2026

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Indice

• Indice lezioni .......................................................................................................................... p. 2
• Lezione 004 ............................................................................................................................. p. 4
• Lezione 005 ............................................................................................................................. p. 5
• Lezione 006 ............................................................................................................................. p. 6
• Lezione 007 ............................................................................................................................. p. 7
• Lezione 009 ............................................................................................................................. p. 8
• Lezione 011 ............................................................................................................................. p. 9
• Lezione 012 ............................................................................................................................. p. 10
• Lezione 014 ............................................................................................................................. p. 11
• Lezione 015 ............................................................................................................................. p. 12
• Lezione 016 ............................................................................................................................. p. 13
• Lezione 017 ............................................................................................................................. p. 17
• Lezione 018 ............................................................................................................................. p. 18
• Lezione 019 ............................................................................................................................. p. 19
• Lezione 020 ............................................................................................................................. p. 21
• Lezione 021 ............................................................................................................................. p. 22
• Lezione 022 ............................................................................................................................. p. 23
• Lezione 023 ............................................................................................................................. p. 24
• Lezione 024 ............................................................................................................................. p. 25
• Lezione 025 ............................................................................................................................. p. 26
• Lezione 026 ............................................................................................................................. p. 27
• Lezione 027 ............................................................................................................................. p. 29
• Lezione 028 ............................................................................................................................. p. 31
• Lezione 029 ............................................................................................................................. p. 32
• Lezione 030 ............................................................................................................................. p. 33
• Lezione 032 ............................................................................................................................. p. 34
• Lezione 033 ............................................................................................................................. p. 36
• Lezione 034 ............................................................................................................................. p. 37
• Lezione 036 ............................................................................................................................. p. 38
• Lezione 037 ............................................................................................................................. p. 39
• Lezione 038 ............................................................................................................................. p. 40
• Lezione 039 ............................................................................................................................. p. 42
• Lezione 040 ............................................................................................................................. p. 43
• Lezione 042 ............................................................................................................................. p. 45
• Lezione 048 ............................................................................................................................. p. 50
• Lezione 053 ............................................................................................................................. p. 51
• Lezione 054 ............................................................................................................................. p. 52
• Lezione 055 ............................................................................................................................. p. 53
• Lezione 056 ............................................................................................................................. p. 55
• Lezione 057 ............................................................................................................................. p. 56
• Lezione 058 ............................................................................................................................. p. 57
• Lezione 060 ............................................................................................................................. p. 59
• Lezione 063 ............................................................................................................................. p. 61
• Lezione 066 ............................................................................................................................. p. 62
• Lezione 067 ............................................................................................................................. p. 63
• Lezione 068 ............................................................................................................................. p. 64
• Lezione 070 ............................................................................................................................. p. 65
• Lezione 075 ............................................................................................................................. p. 68
• Lezione 076 ............................................................................................................................. p. 69
• Lezione 077 ............................................................................................................................. p. 71
• Lezione 078 ............................................................................................................................. p. 73
• Lezione 081 ............................................................................................................................. p. 74
• Lezione 082 ............................................................................................................................. p. 76
• Lezione 083 ............................................................................................................................. p. 77
• Lezione 084 ............................................................................................................................. p. 78
• Lezione 087 ............................................................................................................................. p. 79
• Lezione 088 ............................................................................................................................. p. 80
• Lezione 089 ............................................................................................................................. p. 81
• Lezione 090 ............................................................................................................................. p. 82
• Lezione 091 ............................................................................................................................. p. 83
• Lezione 092 ............................................................................................................................. p. 84
• Lezione 093 ............................................................................................................................. p. 85
• Lezione 096 ............................................................................................................................. p. 87

Lezione 004

01. Fornisci la definizione di estremo inferiore di un insieme reale A e mostra un esempio di estremo inferiore che non è un minimo.

02. Fornisci la definizione di massimo di un insieme reale A.

Lezione 005

01. Fornisci la definizione e un esempio di funzione iniettiva.

02. Fornisci la definizione di funzione suriettiva e mostra un esempio di funzione suriettiva non iniettiva.

Lezione 006

01. La funzione f(x)=1+cos(4x)+tan(2x) è non simmetrica, periodica di periodo π dispari, periodica di periodo π pari, periodica di periodo π/2 non simmetrica, periodica di periodo π/2-|x|

02. La funzione f(x)=e +cos x è dispari non simmetrica e non periodica periodica pari x |x| |x| 2

03. Siano f(x)=xe +1, g(x)=xe +sin(2x), h(x)=e +sin(x ). Allora le uniche funzioni simmetriche sono: f, g dispari, h pari g dispari, h pari f, g dispari f dipari, h pari

Lezione 007

01. L'inversa della funzione y=|x+1|, con dominio dato dall'insieme di esistenza, è x=|y-1| non è definita è y=|x-1| è x=|y+1| x

02. L'inversa della funzione y=e -1, con dominio dato dall'insieme di esistenza, non è definita y è x=e -1 con dominio R è x=ln(y+1) con dominio ]-1,∞[ è y=ln(x+1) con dominio ]-1,∞[

03. Se f(x)=x +1 e g(x)=sin(x), posto F(x)=f(g(x)) e G(x)=g(f(x)), risulta 2F(x)=sin(1+x2), G(x)=1+sin x2 2F(x)=1+sin x, G(x)=sin(1+x )2F(x)=1+sin(x )2G(x)=sin (1+x)

04. L'inversa della funzione y=ln(x+1), con dominio dato dall'insieme di esistenza, non è definita x è y=e -1 con dominio R è x=ln(y+1) con dominio ]-1,∞[ y è x=e -1 con dominio R x

05. Se f(x)=x+1 e g(x)=2 , posto F(x)=f(g(x)) e G(x)=g(f(x)), risulta xF(x)=2 (x+1) x x+1F(x)=2 +1, G(x)=2x(x+1)G(x)=2x+1 xF(x)=2 , G(x)=2 +1

06. Quando una funzione è invertibile? E cos'è l'inversa di una funzione?

Lezione 009

01. Il dominio di y=ln(3-|x-6|) è dato da x>6 x<9 3<x<9 3<x≤6

02. Il dominio di y=[lg (x-2)] è dato da 1/2 2<x≤3 2<x<3 x≥3 x>3

Lezione 011

01. La parte reale di 4(1-i) vale 2 1/2 -2 4

02. (2-i) vale 5-2i 3 5-4i 3-4i 0

03. La parte immaginaria di 1/i è 1 i -1 -i

04. |3-2i| vale 5 5-12i 13 1

05. La parte immaginaria di 2(1+i) è 2 1 -1 -i

Lezione 012

01. La parte reale di (1+i) vale 6 2 1 2-2 6-2 12 2 ia

02. Una radice cubica di (-1+i)4√2 è re con r=2, a=11π/12 r=2√2, a=π/4 r=2, a=3π/4 r=2√2, a=19π/12

03. Il numero complesso z=i-1 può essere scritto in forma goniometrica r(cos a+i sin a) con a=5π/4 a=π/4 a=-π/4 a=-5π/4

04. La parte reale di (1+i) vale 16 2 8 2 10

Lezione 014

01. Il limite per x che tende a 3 di (3x-x ) vale -∞ vale 1 non è definito vale +∞

02. Il limite per x che tende a π di tan(x/2) vale -∞ vale +∞ è un numero reale non è definito

03. Il limite per x che tende a +∞ di (x +9) arctan(x+1) assume un valore infinito è un valore reale maggiore o uguale a 9 è un valore reale minore di 9 non è definito

04. Il limite per x che tende a +∞ di cos(e ) vale 0 non è definito vale 1 è un valore infinito

05. Il limite per x che tende a 0 di e vale 1 +∞ 0 -∞

Lezione 015

01. Il limite per x che tende a +∞ di sin(2x)/x vale 2 non esiste vale 1 vale 0

02. Il limite per x che tende a -∞ di x -ln(1-x)+sin(x) non esiste 0 -3 +∞

03. Enuncia il teorema di permanenza del segno.

04. Enuncia il teorema di unicità del limite.

05. Enuncia il teorema di unicità del limite e il teorema di permanenza del segno.

06. Enuncia il teorema del confronto per limiti di funzione.

Lezione 016

01. Il limite per x che tende a π di (cos x+cos 2x)/(π-x) non esiste vale 3/2 vale -3/2 vale +∞

02. Il limite per x che tende a π/2 di tan x(1-sin x) vale +∞ o -∞ non esiste vale 1 vale 0

03. Il limite per x che tende a 0 di sin(6x)/(2x+tan x) vale 2 vale 3 vale 6 non è definito

04. Il limite per x che tende a 0 di xsin(1/x) vale 1 non si può calcolare non esiste vale 0

05. Il limite per x che tende a 0 di sin(4x) (1-cos x)/x vale 2 +∞ non esiste 4 2

06. Il limite per x che tende a 0 di sin (1/x) vale 1 vale 0 non esiste vale +∞

07. Il limite per x che tende a 0 di (cos x-cos x)/x vale -1/2 1 1/2 -1

08. Il limite per x che tende a 0 di (4x+sin 2x)/(x-4sin x) -1/2 -2 -4 -1/4

09. Il limite per x che tende a 0 di x [cos(2x)-1] vale -2 -1/2 1/2 2

10. Il limite per x che tende a +∞ di (6x -8x+5)/(2x-3x ) vale -4 +∞ -2 3

11. Il limite per x che tende a 0 di (x -x)/(x +x ) non esiste vale 0 vale -1 vale 1

12. Il limite per x che tende a 9 di (x-9)/(3-√x) vale -6 non esiste vale 0 vale +∞ o -∞

13. Il limite per x che tende a 0 di (x+sin 2x)/(3x-sin x) vale -2 vale 3/2 vale 1/3 vale -1

14. Se P(x) è un polinomio di grado 3 e Q(x) è un polinomio tale che il limite per x che tende a -∞ di P(x)/Q(x) vale +∞, allora il grado di Q(x) non si può stabilire con le informazioni date è minore di 4 è maggiore di 4 è uguale a 4

15. Se P(x) è un polinomio di grado 4 e Q(x) un polinomio di grado 5, il limite per x che tende a -∞ di P(x)/Q(x) assume un valore finito, che non è possibile stabilire con le informazioni date vale 0 assume un valore finito dato dal rapporto dei coefficienti di grado più alto al numeratore e al denominatore vale +∞ o -∞

16. Il limite per x che tende a +∞ di (x -2x+1)/(1-x ) vale -∞ vale -1 vale +∞ vale 1

17. Se L è il valore del limite per x che tende a 5 di (x -25x)/(x-5), allora L vale 5 15 0 +∞

18. Il limite per x che tende a 0 di sin(2x)/x vale 1 vale 2 non esiste vale 1/2

19. Il limite per x che tende a -∞ di (x +x+1) +x vale -2 vale 0 è un valore infinito vale -1/2

20. Il limite per x che tende a -∞ di (5x+|1-x|)/(1+2x) vale 2 -6 -3 3

21. Se a>0 e il limite per x che tende a +∞ di (ax-1) /(x +1) vale 4, allora 0<a<2 1<a<3 2<a<4 3<a<5

22. Il limite per x che tende a 0 di (cos x-cosx)/x vale -1/2 1/2 -1 1

Lezione 017

01. Definisci cos'è una successione irregolare (o oscillante) e forniscine un esempio.

02. Definisci cos'è una successione reale e cos'è una successione regolare.

Lezione 018

01. Se a -a è convergente, allora n+1 n a convergena può non convergere na non può oscillare na non può divergere n

02. Sapendo che a è una successione convergente non infinitesima, NON possiamo concludere che n 2(a ) è convergente n -1(n+a ) è convergente non infinitesimana -a è infinitesima n+1 n sin(a ) è convergente n

03. Posto A=(n+1)! e B=(n+2)!, allora il limite per n che tende a +∞ di (B-A)/(nB) vale 1 2 0 +∞

04. Posto A=(n+1)! e B=(n+2)!, allora il limite per n che tende a +∞ di (B-A)/(nA) vale 2 1 0 +∞

05. La successione di termine generale a = n cos(1+n ) n è infinitesima è oscillante limitata è divergente è oscillante illimitata

06. La successione di termine generale a = n / (n-1) è n decrescente illimitata crescente limitata decrescente limitata crescente illimitata

07. Se (b ) è una sottosuccessione della successione di termine generale a =1/n, allora b n n n può oscillare o convergere in generale può convergere o divergere converge diverge

08. Spiega che relazione sussiste fra successioni monotone, regolari, convergenti e limitate, enunciando il relativo teorema.

Lezione 019

01. Il limite per x che tende a 3 di (x/3) vale -1e -3e 1/3e 3e

02. Il limite per x che tende a 0 di [ln(x+e )-2]/x vale e -2e 2e 2e -2

03. Il limite per x che tende a +∞ di ln(4x) / ln(2x) vale ln 2 +∞ 1 2

04. Il limite per x che tende a +∞ di [ln(e +2)-2x] vale 0 +∞ 2 1 2 4 2